int_0^1dx/(sqrt(2x-x^2))=? 

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = ?\)

সমাধান:

প্রথমে, ইন্টিগ্রান্ডটিকে সরল করা যাক:

\(\sqrt{2x-x^2} = \sqrt{1 - (1-2x+x^2)} = \sqrt{1-(x-1)^2}\)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}}\)

ধরি, \(x-1 = \sin\theta\), তাহলে \(dx = \cos\theta d\theta\)।

যখন \(x=0\), \(\sin\theta = -1\), সুতরাং \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)।

যখন \(x=1\), \(\sin\theta = 0\), সুতরাং \(\theta = 0\)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{|\cos\theta|}\)

যেহেতু \(-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0\), \(\cos\theta\) ধনাত্মক। সুতরাং \(|\cos\theta| = \cos\theta\)।

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\pi/2}^0 d\theta = [\theta]_{-\pi/2}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)

অতএব, \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{\pi}{2}\) 🎉。