int_1^(√e) xlnxdx =? 

\( \int_{1}^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx \)

এখানে, ইন্টিগ্রেশন করার জন্য আমরা পার্শিয়াল ইন্টিগ্রেশন (integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধরি, \( u = \ln x \) এবং \( dv = x \, dx \)। তাহলে,

\( du = \frac{1}{x} \, dx \) এবং \( v = \frac{x^2}{2} \)

পার্শিয়াল ইন্টিগ্রেশনের সূত্রানুসারে,

\( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)

সুতরাং,

\( \int_{1}^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{\sqrt{e}} - \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \)

\( = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{\sqrt{e}} - \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{x}{2} \, dx \)

এখন, লিমিট বসিয়ে প্রথম অংশের মান বের করি:

\( \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{\sqrt{e}} = \frac{(\sqrt{e})^2}{2} \ln (\sqrt{e}) - \frac{1^2}{2} \ln (1) \)

\( = \frac{e}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{e}{4} \)

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি হলো:

\( \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{\sqrt{e}} x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{\sqrt{e}} \)

\( = \frac{1}{2} \left( \frac{(\sqrt{e})^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{e}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{e}{4} - \frac{1}{4} \)

সুতরাং, সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রালের মান:

\( \int_{1}^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx = \frac{e}{4} - \left( \frac{e}{4} - \frac{1}{4} \right) \)

\( = \frac{e}{4} - \frac{e}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \)

অতএব, \( \int_{1}^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx = \frac{1}{4} \) 🥳