❓ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকার শর্ত

ধরি, ভেক্টর তিনটি হলো:

\(\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\)

\(\vec{B} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}\)

\(\vec{C} = \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k}\)

যদি ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকে, তবে \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) এবং \(\vec{C}\) ভেক্টর তিনটি হবে সমতলীয়। এর মানে হলো, এদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হবে।

স্কেলার ট্রিপল গুণফল: \([\vec{A} \vec{B} \vec{C}] = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0\)

\(\vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}\)

\(\vec{B} \times \vec{C} = \hat{i}(-2a + 12) - \hat{j}(3a - 4) + \hat{k}(-9 + 2)\)

\(\vec{B} \times \vec{C} = (-2a + 12)\hat{i} - (3a - 4)\hat{j} - 7\hat{k}\)

এখন, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0\)

\((2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot ((-2a + 12)\hat{i} - (3a - 4)\hat{j} - 7\hat{k}) = 0\)

\(2(-2a + 12) + 1(-(3a - 4)) - 1( -7) = 0\)

\(-4a + 24 - 3a + 4 + 7 = 0\)

\(-7a + 35 = 0\)

\(7a = 35\)

\(a = \frac{35}{7}\)

\(a = 5\)

অতএব, a এর মান 5 হলে ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে। 🎉