int_2^5dx/(x^2-4x+13)=? 

প্রশ্ন: \(\int_2^5 \frac{dx}{x^2 - 4x + 13} = ?\)

সমাধান:

প্রথমে, ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে সরল করি:

\(x^2 - 4x + 13 = x^2 - 4x + 4 + 9 = (x - 2)^2 + 3^2\)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_2^5 \frac{dx}{(x - 2)^2 + 3^2}\)

ধরি, \(u = x - 2\), তাহলে \(du = dx\)।

যখন \(x = 2\), \(u = 2 - 2 = 0\).

যখন \(x = 5\), \(u = 5 - 2 = 3\).

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\(\int_0^3 \frac{du}{u^2 + 3^2}\)

আমরা জানি, \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C\).

অতএব, \(\int_0^3 \frac{du}{u^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{u}{3}) \Big|_0^3\)

\(= \frac{1}{3} \left[ \tan^{-1}(\frac{3}{3}) - \tan^{-1}(\frac{0}{3}) \right]\)

\(= \frac{1}{3} \left[ \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \right]\)

\(= \frac{1}{3} \left[ \frac{\pi}{4} - 0 \right]\)

\(= \frac{\pi}{12}\)

সুতরাং, \(\int_2^5 \frac{dx}{x^2 - 4x + 13} = \frac{\pi}{12}\) 🎉