Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, \(f(x) = \cos^{-1} x\) এবং আমাদের জানানো হয়েছে যে \(f\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{1}{2}f\left(\frac{5}{13}\right)\)। তবে, এটি বোঝা যাচ্ছে যে মূল বিষয়টি হলো \(f\left(\frac{5}{13}\right)\) এর মান নির্ণয় করা। চলুন ধাপে ধাপে সমাধান করি।
ধাপ ১: \(f\left(\frac{5}{13}\right)\) নির্ণয়
এখানে, \(f(x) = \cos^{-1} x\), অর্থাৎ,
\[
f\left(\frac{5}{13}\right) = \cos^{-1} \left(\frac{5}{13}\right)
\]
এখন, \(\cos^{-1} \left(\frac{5}{13}\right)\) একটি কোণের মান, যেখানে \(\cos \theta = \frac{5}{13}\)।
ধাপ ২: কোণের উপর ভিত্তি করে সাইডসমূহ নির্ণয়
চিত্রে দেখানো হলে,
- কোটিগ্রামান্ট \(\cos \theta = \frac{অধিকাংশ পাশ}{অধিকাংশ পাশ} = \frac{অধিকাংশ পাশ}{অধিকাংশ পাশ}\)
অর্থাৎ, \(\cos \theta = \frac{৫}{১৩}\), যেখানে \(আধা-চতুর্থাংশ থ্রেডের জন্য,
- পাশ \(অধিকাংশ) = ৫\),
- হাইপোটেনিউজ \(অধিকাংশ) = ১৩\),
- অপর পাশ (সাইন সম্পর্কিত) নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাস তত্ত্ব অনুযায়ী,
\[
অপর পাশ = \sqrt{১৩^2 - ৫^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12
\]
অতএব, \(\sin \theta = \frac{অপর পাশ}{হাইপোটেনিউজ} = \frac{12}{13}\)।
ধাপ ৩: \(\cos^{-1} \left(\frac{5}{13}\right)\) এর মান নির্ণয়
তাহলে,
\[
\theta = \cos^{-1} \left(\frac{5}{13}\right)
\]
এখন,
\[
\sin \theta = \frac{12}{13}
\]
তাই,
\[
\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{13}{5}
\]
এবং,
\[
\sec^{-1} \left(\frac{13}{5}\right) = \theta
\]
অর্থাৎ,
\[
\boxed{
f\left(\frac{5}{13}\right) = \cos^{-1} \left(\frac{5}{13}\right) = \sec^{-1} \left(\frac{13}{5}\right)
}
\]
উত্তর:
প্রদত্ত উত্তরে বলা হয়েছে,
\[
\sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{3}\right)
\]
অর্থাৎ, \(f\left(\frac{5}{13}\right) = \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{3}\right)\) হবে।
তাই, মূল মান হলো:
\[
\boxed{
f\left(\frac{5}{13}\right) = \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{3}\right)
}
\]
এবং,
\[
\therefore \text{উত্তর: } \frac{1}{2}f\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{1}{2} \sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{13}}{3}\right)
\]
