int_0^1dx/(sqrt(2x-x^2)) এর মান হবে-

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে একটু সরল করে নেব। 🧐

\( \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} &= \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)}} \\ &= \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \end{aligned} \)

এখন, \( x - 1 = \sin{\theta} \) ধরলে, \( dx = \cos{\theta} d\theta \) হবে। 👍

সীমা পরিবর্তন:

• যখন \( x = 0 \), তখন \( \sin{\theta} = 0 - 1 = -1 \), অর্থাৎ \( \theta = -\frac{\pi}{2} \)
• যখন \( x = 1 \), তখন \( \sin{\theta} = 1 - 1 = 0 \), অর্থাৎ \( \theta = 0 \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos{\theta} d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2{\theta}}} &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos{\theta} d\theta}{\sqrt{\cos^2{\theta}}} \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos{\theta} d\theta}{\cos{\theta}} \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta \\ &= [\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \\ &= 0 - (-\frac{\pi}{2}) \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} \)

অতএব, \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2} \)। 🎉

সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরটি ভুল। সঠিক উত্তর \( \frac{\pi}{2} \) 🥳