\(x^y = y^x\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয়:

ধাপ ১: উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম (ln) গ্রহণ করি।

\(\ln(x^y) = \ln(y^x)\)

\(y \ln(x) = x \ln(y)\)

ধাপ ২: x এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষের অন্তরকলন করি।

\(\frac{d}{dx}(y \ln(x)) = \frac{d}{dx}(x \ln(y))\)

এখানে, \(\frac{d}{dx}(y \ln(x))\) = \( \frac{dy}{dx}\ln(x) + y\cdot\frac{1}{x} \)

এবং, \(\frac{d}{dx}(x \ln(y))\) = \( 1\cdot\ln(y) + x\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} \)

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx}\ln(x) + \frac{y}{x} = \ln(y) + \frac{x}{y}\frac{dy}{dx} \)

ধাপ ৩: \(\frac{dy}{dx}\) যুক্ত পদগুলো একপাশে নিয়ে আসি।

\(\frac{dy}{dx}\ln(x) - \frac{x}{y}\frac{dy}{dx} = \ln(y) - \frac{y}{x}\)

\(\frac{dy}{dx}(\ln(x) - \frac{x}{y}) = \ln(y) - \frac{y}{x}\)

ধাপ ৪: \(\frac{dy}{dx}\) এর জন্য সমাধান করি।

\(\frac{dy}{dx} = \frac{\ln(y) - \frac{y}{x}}{\ln(x) - \frac{x}{y}}\)

ধাপ ৫: সরলীকরণ করি।

\(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x\ln(y) - y}{x}}{\frac{y\ln(x) - x}{y}}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{x\ln(y) - y}{x} \cdot \frac{y}{y\ln(x) - x}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{y(x\ln(y) - y)}{x(y\ln(x) - x)}\) 🎉

অতএব, \(\frac{dy}{dx} = \frac{y(x\ln(y) - y)}{x(y\ln(x) - x)}\) ।

সুতরাং নির্ণেয় উত্তর: \(\frac{y(x\ln y-y)}{x(ylnx-x)}\)