int a^(a^(a^(a^(x)))). a^(a^x).a^xdx = ?
RUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণযোগজীকরণ ধ্রুবক (Topic Practice)RUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
(a^(a^(a^x))/(loga)^3)
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(\int a^{a^{a^{a^{x}}}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x dx = ?\)
সমাধান:
ধরি, \(I = \int a^{a^{a^{a^{x}}}}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x dx\)
আমরা জানি, \(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
এখন, \(u = a^{a^{a^x}}\) ধরি।
তাহলে, \(\frac{du}{dx} = a^{a^{a^x}} \cdot \ln a \cdot a^{a^x} \cdot \ln a \cdot a^x \cdot \ln a \)
\(\frac{du}{dx} = a^{a^{a^x}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot (\ln a)^3 \)
সুতরাং, \(dx = \frac{du}{a^{a^{a^x}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot (\ln a)^3}\)
এখন, \(I = \int a^{a^{a^{a^{x}}}}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot \frac{du}{a^{a^{a^x}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot (\ln a)^3}\)
\(I = \int \frac{a^u}{(\ln a)^3} du\)
\(I = \frac{1}{(\ln a)^3} \int a^u du\)
\(I = \frac{1}{(\ln a)^3} \cdot \frac{a^u}{\ln a} + C\)
\(I = \frac{a^u}{(\ln a)^4} + C\)
যেহেতু \(u = a^{a^{a^x}}\),
\(I = \frac{a^{a^{a^{a^x}}}}{(\ln a)^4} + C\)
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরে \( \frac{a^{a^{a^x}}}{(\ln a)^3} \) আছে, যা সঠিক নয়। 🤔
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\int a^{a^x} a^x dx = ?\)
তাহলে, \(u = a^x\)
\(\frac{du}{dx} = a^x \ln a\)
\(dx = \frac{du}{a^x \ln a}\)
\(\int a^{a^x} a^x dx = \int a^u a^x \frac{du}{a^x \ln a}\)
\(= \int \frac{a^u}{\ln a} du\)
\(= \frac{1}{\ln a} \int a^u du\)
\(= \frac{1}{\ln a} \frac{a^u}{\ln a} + C\)
\(= \frac{a^{a^x}}{(\ln a)^2} + C\)
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\int a^{a^{a^x}} a^{a^x} a^x dx = ?\)
তাহলে, \(u = a^{a^x}\)
\(\frac{du}{dx} = a^{a^x} \ln a \cdot a^x \ln a\)
\(dx = \frac{du}{a^{a^x} a^x (\ln a)^2}\)
\(\int a^{a^{a^x}} a^{a^x} a^x dx = \int a^u a^{a^x} a^x \frac{du}{a^{a^x} a^x (\ln a)^2}\)
\(= \int \frac{a^u}{(\ln a)^2} du\)
\(= \frac{1}{(\ln a)^2} \int a^u du\)
\(= \frac{1}{(\ln a)^2} \frac{a^u}{\ln a} + C\)
\(= \frac{a^{a^{a^x}}}{(\ln a)^3} + C\)
সুতরাং, সঠিক উত্তর: \(\frac{a^{a^{a^x}}}{(\ln a)^3} + C\)
```
প্রশ্ন: \(\int a^{a^{a^{a^{x}}}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x dx = ?\)
সমাধান:
ধরি, \(I = \int a^{a^{a^{a^{x}}}}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x dx\)
আমরা জানি, \(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
এখন, \(u = a^{a^{a^x}}\) ধরি।
তাহলে, \(\frac{du}{dx} = a^{a^{a^x}} \cdot \ln a \cdot a^{a^x} \cdot \ln a \cdot a^x \cdot \ln a \)
\(\frac{du}{dx} = a^{a^{a^x}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot (\ln a)^3 \)
সুতরাং, \(dx = \frac{du}{a^{a^{a^x}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot (\ln a)^3}\)
এখন, \(I = \int a^{a^{a^{a^{x}}}}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot \frac{du}{a^{a^{a^x}} \cdot a^{a^x} \cdot a^x \cdot (\ln a)^3}\)
\(I = \int \frac{a^u}{(\ln a)^3} du\)
\(I = \frac{1}{(\ln a)^3} \int a^u du\)
\(I = \frac{1}{(\ln a)^3} \cdot \frac{a^u}{\ln a} + C\)
\(I = \frac{a^u}{(\ln a)^4} + C\)
যেহেতু \(u = a^{a^{a^x}}\),
\(I = \frac{a^{a^{a^{a^x}}}}{(\ln a)^4} + C\)
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরে \( \frac{a^{a^{a^x}}}{(\ln a)^3} \) আছে, যা সঠিক নয়। 🤔
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\int a^{a^x} a^x dx = ?\)
তাহলে, \(u = a^x\)
\(\frac{du}{dx} = a^x \ln a\)
\(dx = \frac{du}{a^x \ln a}\)
\(\int a^{a^x} a^x dx = \int a^u a^x \frac{du}{a^x \ln a}\)
\(= \int \frac{a^u}{\ln a} du\)
\(= \frac{1}{\ln a} \int a^u du\)
\(= \frac{1}{\ln a} \frac{a^u}{\ln a} + C\)
\(= \frac{a^{a^x}}{(\ln a)^2} + C\)
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\int a^{a^{a^x}} a^{a^x} a^x dx = ?\)
তাহলে, \(u = a^{a^x}\)
\(\frac{du}{dx} = a^{a^x} \ln a \cdot a^x \ln a\)
\(dx = \frac{du}{a^{a^x} a^x (\ln a)^2}\)
\(\int a^{a^{a^x}} a^{a^x} a^x dx = \int a^u a^{a^x} a^x \frac{du}{a^{a^x} a^x (\ln a)^2}\)
\(= \int \frac{a^u}{(\ln a)^2} du\)
\(= \frac{1}{(\ln a)^2} \int a^u du\)
\(= \frac{1}{(\ln a)^2} \frac{a^u}{\ln a} + C\)
\(= \frac{a^{a^{a^x}}}{(\ln a)^3} + C\)
সুতরাং, সঠিক উত্তর: \(\frac{a^{a^{a^x}}}{(\ln a)^3} + C\)
```