nC2 = 10 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \( \binom{n}{2} = 10 \)

এখানে, \( \binom{n}{2} \) এর মান বোঝায়:

\[ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]

অর্থাৎ,

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 10 \]

দুটি পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করলে:

\[ n(n-1) = 20 \]

এখন, একটি কোয়াড্রেটিক সমীকরণ পেয়ে গেলাম:

\[ n^2 - n - 20 = 0 \]

এখন, এই সমীকরণের সমাধান করতে পারব:

প্রতিটি \( n \) এর জন্য,

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

এখানে, \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -20 \):

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-20)}}{2 \times 1} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} \]

\[ n = \frac{1 \pm 9}{2} \]

অতএব, দুটি সমাধান হতে পারে:

\[ n = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

অথবা,

\[ n = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

কিন্তু, \( n \) এর মান অবশ্যই ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা কারণ সেটি কোন কম্বিনেশন সংখ্যার জন্য মানানসই। সুতরাং,

উপযুক্ত মান হলো: \( n = 5 \)

উত্তর:

n এর মান = 5