|(lnx,lny,lnz),(ln2x,ln2y,ln2z),(ln3x,ln3y,ln3z)|=? 

সমাধান:

দেওয়া হয়েছে:

\(|(\ln x, \ln y, \ln z), (\ln 2x, \ln 2y, \ln 2z), (\ln 3x, \ln 3y, \ln 3z)|\)

এখানে, তিনটি ভেকটর:

\[
\mathbf{A} = (\ln x, \ln y, \ln z)
\]
\[
\mathbf{B} = (\ln 2x, \ln 2y, \ln 2z)
\]
\[
\mathbf{C} = (\ln 3x, \ln 3y, \ln 3z)
\]

প্রতিটি ভেকটরকে আলাদা করে লিখি:

\[
\mathbf{A} = (\ln x, \ln y, \ln z)
\]
\[
\mathbf{B} = (\ln 2 + \ln x, \ln 2 + \ln y, \ln 2 + \ln z)
\]
\[
\mathbf{C} = (\ln 3 + \ln x, \ln 3 + \ln y, \ln 3 + \ln z)
\]

এখন, ডিটারমিনেন্টের জন্য, আমরা প্রথম ভেকটর থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় ভেকটর বিয়োগ ???রি:

\[
\mathbf{B} - \mathbf{A} = (\ln 2 + \ln x - \ln x, \ln 2 + \ln y - \ln y, \ln 2 + \ln z - \ln z) = (\ln 2, \ln 2, \ln 2)
\]
\[
\mathbf{C} - \mathbf{A} = (\ln 3 + \ln x - \ln x, \ln 3 + \ln y - \ln y, \ln 3 + \ln z - \ln z) = (\ln 3, \ln 3, \ln 3)
\]

অর্থাৎ, এই দুই ভেকটর:

\[
\mathbf{D} = (\ln 2, \ln 2, \ln 2)
\]
\[
\mathbf{E} = (\ln 3, \ln 3, \ln 3)
\]

এখন, মূল ডিটারমিনেন্টটি হলো:

\[
\left| \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \right| = \left| \mathbf{A}, \mathbf{A} + \mathbf{D}, \mathbf{A} + \mathbf{E} \right|
\]
এটি সমান:

\[
= \left| \mathbf{A}, \mathbf{A} + \mathbf{D}, \mathbf{A} + \mathbf{E} \right| = \left| \mathbf{A}, \mathbf{A}, \mathbf{A} \right| + \text{অন্য কিছু}
\]
কিন্তু, ডিটারমিনেন্টের জন্য, সাধারণত আমরা ভেকটরগুলো থেকে একে অপরের পার্থক্য ব্যবহার করি।

অতএব, মূল ডিটারমিনেন্টটি হবে:
\[
\left| \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \right| = \left| \mathbf{A}, \mathbf{A} + \mathbf{D}, \mathbf{A} + \mathbf{E} \right| = \left| \mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{E} \right|
\]
(কারণ, ডিটারমিনেন্টের জন্য, যদি প্রথম ভেকটর অন্য ভেকটরগুলোর সাথে যোগ বা বিয়োগ হয়, তবে তার মান অপরিবর্তিত হয়।)
অর্থাৎ, ডিটারমিনেন্টটি সমান:
\[
|\mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{E}|
\]
একই ভেকটর \(\mathbf{A}\) এর কারণে, এই ডিটারমিনেন্টের মান শূন্য হবে কারণ, দুইটি ভেকটরই একই রকমের সমতল বা লাইনarly dependent।

বিশ্লেষণে দেখা যাচ্ছে:
\[
\mathbf{D} = \ln 2 \cdot (1, 1, 1)
\]
\[
\mathbf{E} = \ln 3 \cdot (1, 1, 1)
\]

এগুলি সকলের সাথে সমান দিকের ভেকটর, অর্থাৎ, তারা লাইনarly dependent।

অতএব, ডিটারমিনেন্টের মান হবে:
\[
|\mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{E}| = 0
\]

উপসংহার:
সুতরাং,
\(|(\ln x, \ln y, \ln z), (\ln 2x, \ln 2y, \ln 2z), (\ln 3x, \ln 3y, \ln 3z)| = 0\)