θ এর কোন মানের জন্য sinθ + cosθ = 1?

প্রশ্ন: \(\sin \theta + \cos \theta = 1\) এর জন্য \(\theta\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

Given:
\(\sin \theta + \cos \theta = 1\)

দুটি উপাদানকে স্কোয়ার করি:
(\(\sin \theta + \cos \theta\))2 = 12

অর্থাৎ:
\(\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1\)

জানাই যায়:
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)

সুতরাং:
1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1

অর্থ:
2 \sin \theta \cos \theta = 0

অর্থাৎ:
\(\sin \theta \cos \theta = 0\)

এখানে, \(\sin \theta = 0\) অথবা \(\cos \theta = 0\)

প্রথম ক্ষেত্রে:
\(\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = n\pi, n \in \mathbb{Z}\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
\(\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}\)

এখন, এই মানগুলো পরীক্ষা করি:

১) \(\theta = n\pi\):
\(\sin n\pi = 0\), \(\cos n\pi = (-1)^n\)

তাহলে:
\(\sin \theta + \cos \theta = 0 + (-1)^n\)

যদি এই মান 1 হয়:
\(-1^n = 1 \Rightarrow n\) অবশ্যই এমন যে \((-1)^n = 1\), অর্থাৎ \(n\) জোড় সংখ্যা।

অর্থাৎ:
\(\theta = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

২) \(\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi\):
\(\sin \theta = \pm 1\), \(\cos \theta = 0\)

তাহলে:
\(\sin \theta + \cos \theta = \pm 1 + 0 = \pm 1\)

যা 1 এর সমান যদি:
\(\pm 1 = 1 \Rightarrow\) শুধুমাত্র \(\sin \theta = 1\)

\(\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

এবং এই মানের জন্য:
\(\sin \theta + \cos \theta = 1 + 0 = 1\)

সুতরাং, শেষ সিদ্ধান্ত:

\(\boxed{
\theta = 2k\pi \quad \text{বা} \quad \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
}\)