(-2,3) ও (4,-7) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে Y অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা হল-
সঠিক উত্তরঃ
B.
1:2
Another Explanation (5): প্রথমে, দুই বিন্দু \(A(-2, 3)\) এবং \(B(4, -7)\) এর মধ্যবর্তী সংযোগ রেখাংশের ব্যাপ্তি নির্ণয় করি:
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-7 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-10)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136}
\]
এখন, রেখাংশটি Y অক্ষকে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় করতে হলে, ধরা যাক, বিন্দু \(P(x, 0)\) হলো সেই বিন্দু, যেখানে রেখাংশটি বিভক্ত করে।
সাধারণত, বিন্দু \(A\) থেকে \(P\) পর্যন্ত অংশের দৈর্ঘ্য \(AP\), এবং \(P\) থেকে \(B\) পর্যন্ত অংশের দৈর্ঘ্য \(PB\)।
বিন্দু \(P\) Y অক্ষের উপর, অর্থাৎ \(P(x, 0)\)।
তাহলে, \(AP\) এর দৈর্ঘ্য:
\[
AP = \sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 9}
\]
এবং, \(PB\) এর দৈর্ঘ্য:
\[
PB = \sqrt{(4 - x)^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{(4 - x)^2 + 49}
\]
কিন্তু, রেখাংশটি \(A\) থেকে \(B\) পর্যন্ত বিভক্ত হয় এমন বিন্দু \(P\), যেখানে:
\[
\frac{AP}{PB} = \text{অনুপাতে বিভাজন}
\]
উদাহরণস্বরূপ, যদি রেখাংশটি Y অক্ষ দ্বারা \(k:1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়, তাহলে:
\[
\frac{AP}{PB} = \frac{k}{1}
\]
তাহলে, \(P\) এর জন্য কোটেশন সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে:
\[
x = \frac{k \cdot x_2 + x_1}{k + 1}
\]
অথবা, সাধারণত, বিন্দু \(P\) এর x-স্থান:
\[
x = \frac{m \cdot x_2 + x_1}{m + 1}
\]
এখানে, \(m\) হল বিভাজনের অনুপাত।
অথবা, আমাদের মূল লক্ষ্য হলো সেই অনুপাত নির্ণয় করা যেখানে রেখাংশটি Y অক্ষ (যেখানে \(x=0\)) দ্বারা বিভক্ত হয়।
অর্থাৎ, \(x=0\) হলে:
\[
0 = \frac{m \cdot 4 + (-2)}{m + 1}
\]
এখন, সমীকরণটি সমাধান করি:
\[
0 (m + 1) = 4m - 2
\]
\[
0 = 4m - 2
\]
\[
4m = 2
\]
\[
m = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
এখানে, বিভাজনের অনুপাত \(m = \frac{1}{2}\) অর্থাৎ, রেখাংশটি Y অক্ষ দ্বারা \(\frac{1}{2}\) : \(1\) অনুপাতে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, বিন্দু \(P\) এর অনুপাত হবে:
\[
\boxed{1 : 2}
\]
অর্থাৎ, রেখাংশটি Y অক্ষ দ্বারা \(1:2\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।
**উত্তর:** \(\boxed{01:02:00}\)