(1, 2) বিন্দু হইতে x - √3y +4 = 0 রেখার উপর লম্ব অংকিত করা হইল। মুলবিন্দু হইতে এই লম্বের দূরত্ব কত?

দেওয়া আছে, রেখার সমীকরণ:

\(x - \sqrt{3}y + 4 = 0\)

এবং বিন্দু: \((1, 2)\)

প্রথমে, \((1, 2)\) বিন্দু থেকে \(x - \sqrt{3}y + 4 = 0\) রেখার উপর লম্বের পাদবিন্দু নির্ণয় করি।

ধরি, লম্বের পাদবিন্দু \((h, k)\)

যেহেতু \((h, k)\) বিন্দুটি \(x - \sqrt{3}y + 4 = 0\) রেখার উপর অবস্থিত, সুতরাং,

\(h - \sqrt{3}k + 4 = 0\) --- (1)

লম্বের নতি (\(m_1\)): \(x - \sqrt{3}y + 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(\therefore m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\((1, 2)\) এবং \((h, k)\) বিন্দুগামী সরলরেখার নতি (\(m_2\)): \(m_2 = \frac{k - 2}{h - 1}\)

যেহেতু রেখাটি লম্ব, \(m_1 \cdot m_2 = -1\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{k - 2}{h - 1} = -1\)

\(k - 2 = -\sqrt{3}(h - 1)\)

\(k = -\sqrt{3}h + \sqrt{3} + 2\) --- (2)

(1) নং সমীকরণে (2) নং সমীকরণ থেকে \(k\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(h - \sqrt{3}(-\sqrt{3}h + \sqrt{3} + 2) + 4 = 0\)

\(h + 3h - 3 - 2\sqrt{3} + 4 = 0\)

\(4h = 2\sqrt{3} - 1\)

\(h = \frac{2\sqrt{3} - 1}{4}\)

\(h\) এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(k = -\sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{3} - 1}{4} + \sqrt{3} + 2\)

\(k = \frac{-6 + \sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 8}{4}\)

\(k = \frac{2 + 5\sqrt{3}}{4}\)

সুতরাং, লম্বের পাদবিন্দু \(\left(\frac{2\sqrt{3} - 1}{4}, \frac{2 + 5\sqrt{3}}{4}\right)\)

এখন, \(x - \sqrt{3}y + 4 = 0\) রেখার উপর মূলবিন্দু (0, 0) থেকে লম্ব দূরত্ব:

\(d = \frac{|0 - \sqrt{3} \cdot 0 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}\)

\(d = \frac{4}{\sqrt{1 + 3}}\)

\(d = \frac{4}{2} = 2\)

\(x - \sqrt{3}y + 4 = 0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ:

\(\sqrt{3}x + y = c\)

\((1, 2)\) বিন্দুটি এই সরলরেখার উপর অবস্থিত।

\(\sqrt{3} \cdot 1 + 2 = c\)

\(c = \sqrt{3} + 2\)

সুতরাং, লম্বের সমীকরণ: \(\sqrt{3}x + y = \sqrt{3} + 2\)

\(\sqrt{3}x + y - (\sqrt{3} + 2) = 0\)

মুলবিন্দু থেকে এই লম্বের দূরত্ব:

\(d = \frac{|\sqrt{3} \cdot 0 + 0 - (\sqrt{3} + 2)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}}\)

\(d = \frac{|\sqrt{3} + 2|}{\sqrt{3 + 1}}\)

\(d = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\)

যদি প্রশ্নটি "(1, 2) বিন্দু থেকে x - √3y +4 = 0 রেখার উপর লম্ব অংকিত করা হইল। মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব রেখাংশের দূরত্ব কত?" হয়, তাহলে উত্তর হবে:

লম্ব রেখাংশের সমীকরণ: \(\sqrt{3}x + y - (\sqrt{3} + 2) = 0\)

মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব = \(\frac{|-\sqrt{3} - 2|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}\)

যদি প্রশ্নটি "(1, 2) বিন্দু থেকে x - √3y +4 = 0 রেখার উপর লম্ব অংকিত করা হইল। মূলবিন্দু থেকে x - √3y +4 = 0 রেখার দূরত্ব কত?" হয়, তাহলে উত্তর হবে:

মূলবিন্দু থেকে x - √3y +4 = 0 রেখার লম্ব দূরত্ব = \(\frac{|4|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{4}{2} = 2\)

প্রদত্ত উত্তর \(\frac{2 + \sqrt{3}}{3}\) সম্ভবত ভুল। 🤔

সঠিক উত্তর: \(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\) অথবা 2 😃