(2,3) ও (-2,4) বিন্দু হতে 4x-2y+7=0 সরলরেখার সমদূরবর্তী বিন্দু কোনটি?

প্রশ্ন:

(2,3) ও (-2,4) বিন্দু হতে 4x-2y+7=0 সরলরেখার সমদূরবর্তী বিন্দু কোনটি?

উত্তর:

(0, 7/2)

ব্যাখ্যা:

ধরি, \( (x, y) \) বিন্দুটি \( 4x - 2y + 7 = 0 \) সরলরেখা থেকে \( (2, 3) \) ও \( (-2, 4) \) বিন্দুদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

সুতরাং, \( (x, y) \) বিন্দু থেকে \( (2, 3) \) বিন্দুর দূরত্ব,

\( d_1 = \frac{|4(2) - 2(3) + 7|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|8 - 6 + 7|}{\sqrt{16 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{20}} \)

এবং \( (x, y) \) বিন্দু থেকে \( (-2, 4) \) বিন্দুর দূরত্ব,

\( d_2 = \frac{|4(-2) - 2(4) + 7|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|-8 - 8 + 7|}{\sqrt{16 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{20}} \)

যেহেতু বিন্দুটি \(4x - 2y + 7 = 0\) সরলরেখার উপর অবস্থিত, তাই \(4x - 2y + 7 = 0\)।

এখন অপশন থেকে যাচাই করি। \( (0, \frac{7}{2}) \) বিন্দুটি \(4x - 2y + 7 = 0\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে:

\(4(0) - 2(\frac{7}{2}) + 7 = 0 - 7 + 7 = 0\)

সুতরাং, \( (0, \frac{7}{2}) \) বিন্দুটি \(4x - 2y + 7 = 0\) সরলরেখার উপর অবস্থিত।

এখন, \( (0, \frac{7}{2}) \) থেকে \( (2, 3) \) এর লম্ব দূরত্ব = \( \frac{|4(2) - 2(3) + 7|}{\sqrt{20}} \)

\(= \frac{|8 - 6 + 7|}{\sqrt{20}} = \frac{9}{\sqrt{20}}\) 📏

এবং, \( (0, \frac{7}{2}) \) থেকে \( (-2, 4) \) এর লম্ব দূরত্ব = \( \frac{|4(-2) - 2(4) + 7|}{\sqrt{20}} \)

\(= \frac{|-8 - 8 + 7|}{\sqrt{20}} = \frac{9}{\sqrt{20}}\) 📐

যেহেতু দূরত্ব সমান, তাই নির্ণেয় বিন্দু \( (0, \frac{7}{2}) \) 🥳।