y অক্ষের সমান্তরাল 2veci+3vecj-4veck ভেক্টরের লম্ব একক ভেক্টর কোনটি? 

🤔 প্রশ্নটি y অক্ষের সমান্তরাল \( 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \) ভেক্টরের লম্ব একক ভেক্টর বের করতে বলছে।

💡 যেহেতু ভেক্টরটি y অক্ষের সমান্তরাল, তাই এর দিক হবে \(\hat{j}\)।

ধরি, নির্ণেয় লম্ব ভেক্টরটি \( a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} \)।

যেহেতু ভেক্টরটি \( 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \) এর উপর লম্ব, তাই এদের ডট গুণফল শূন্য হবে।

\((2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) = 0 \)

\( 2a + 3b - 4c = 0 \) --- (1)

আবার, নির্ণেয় ভেক্টরটি \(\hat{j}\) এর উপর লম্ব। সুতরাং,

\( (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) \cdot \hat{j} = 0 \)

\( b = 0 \)

b এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\( 2a - 4c = 0 \)

\( a = 2c \)

এখন, \( a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} \) একটি একক ভেক্টর, তাই,

\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)

\( (2c)^2 + 0^2 + c^2 = 1 \)

\( 4c^2 + c^2 = 1 \)

\( 5c^2 = 1 \)

\( c = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \)

সুতরাং, \( a = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \)

নির্ণেয় লম্ব একক ভেক্টরটি হবে: \( \pm \left( \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{k} \right) \)

\( \pm \left( \frac{2\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{5}} \right) \)

⚠️ উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, আমরা \( \hat{j} \) এর সমান্তরাল ভেক্টরটিকে \( 2\hat{i} - 4\hat{k} + 3\hat{j} \) বিবেচনা করি।

যেহেতু ভেক্টরটি y অক্ষের সমান্তরাল, তাই y অক্ষ বরাবর একটি ভেক্টর \(\hat{j}\)। সুতরাং, লম্ব ভেক্টর বের করার জন্য, \(\hat{j}\) এর সাথে ডট গুণফল 0 হতে হবে।

ধরি, লম্ব ভেক্টরটি \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \)।

তাহলে, \((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 0\)

\(2x + 3y - 4z = 0\)

এবং \((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot \hat{j} = 0\)

\(y = 0\)

সুতরাং, \(2x - 4z = 0\), বা \(x = 2z\)

এখন, ভেক্টরটিকে একক ভেক্টর হতে হবে, তাই \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)

\((2z)^2 + 0^2 + z^2 = 1\)

\(5z^2 = 1\)

\(z = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\)

সুতরাং, ভেক্টরটি \( \pm (\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{k}) \)।

প্রদত্ত উত্তরটি হল \( \frac{4\hat{j} + 3\hat{k}}{5} \)। এই ভেক্টরটির সাথে \( 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \) এর ডট গুণফল \( \frac{9-16}{5} \), যা 0 নয়। তাই এটি লম্ব ভেক্টর নয়। আবার, এটি y অক্ষের সাথেও লম্ব নয়।

✅ সুতরাং, সঠিক উত্তর \( \pm \left( \frac{2\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{5}} \right) \) অথবা \( \pm \frac{1}{\sqrt{5}}(2\hat{i} + \hat{k}) \)