\( \sec^2(\cot^{-1}\sqrt{2}) - \sin^2 (\cos^{-1}1) \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, প্রশ্নে দেওয়া মানগুলো বিশ্লেষণ করি: প্রশ্ন: \( \sec^2(\cot^{-1}\sqrt{2}) - \sin^2 (\cos^{-1}1) \) ### ধাপ 1: \( \cot^{-1} \sqrt{2} \) এর মান নির্ণয় ধরা যাক, \( \theta = \cot^{-1} \sqrt{2} \), তাহলে: \[ \cot \theta = \sqrt{2} \] এর মানে, \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{2} \) অর্থাৎ, \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{2} \] এখানে, সবাইকে মানে একটি রিলেটিভ কো-অর্ডিনেট, ধরি: \[ \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta \] ত্রিভুজের তথ্য অনুযায়ী, ধরি: \[ \sin \theta = y, \quad \cos \theta = x \] তাহলে, \[ x = \sqrt{2} y \] এবং, \[ x^2 + y^2 = 1 \] প্রতিস্থাপন করি: \[ (\sqrt{2} y)^2 + y^2 = 1 \] \[ 2 y^2 + y^2 = 1 \] \[ 3 y^2 = 1 \] \[ y^2 = \frac{1}{3} \] \[ y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] তাহলে, \[ x = \sqrt{2} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] ধরি \( \theta \) প্রথম কোণ, যেখানে \( \cot \theta > 0 \), অর্থাৎ, প্রথম বা তৃতীয় কোণে। কারণ, \( \cot^{-1} \sqrt{2} \) মূলত প্রথম কোণে নেওয়া হয়, যেখানে \( \sin \theta > 0 \), \( \cos \theta > 0 \)। তাহলে, \[ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3} \] ### ধাপ 2: \( \sec^2 (\cot^{-1} \sqrt{2}) \) এর মান নির্ণয় \[ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] অতএব, \[ \sec^2 \theta = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] ### ধাপ 3: \( \sin^2 (\cos^{-1} 1) \) এর মান নির্ণয় ধরা যাক, \( \phi = \cos^{-1} 1 \): \[ \cos \phi = 1 \] এখানে, \( \phi \) এর মান হলো 0, কারণ \( \cos 0 = 1 \): \[ \sin \phi = \sin 0 = 0 \] অতএব, \[ \sin^2 \phi = 0^2 = 0 \] ### চূড়ান্ত সমাধান: \[ \sec^2 (\cot^{-1} \sqrt{2}) - \sin^2 (\cos^{-1} 1) = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2} \] ## উত্তর: ```html

উত্তর: 3/2

```