একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের y অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ- 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের y অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ নির্ণয় করো। ধরা যাক, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \[ x^2 + y^2 = f^2 \] আমাদের লক্ষ্য হচ্ছে y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা। এই অংশটি তখনই থাকবে যখন y এর মানের জন্য বৃত্তের সমীকরণটি সত্য হবে। ### সমাধান: 1. **y এর জন্য সমীকরণ থেকে নির্ণয়:** \[ y^2 = f^2 - x^2 \] 2. **y এর মান:** \[ y = \pm \sqrt{f^2 - x^2} \] 3. **x এর জন্য সীমা:** যেহেতু y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের জন্য x এর মানের সীমা হবে যেখানে y এর মান বাস্তবসংখ্যা (অর্থাৎ, মূল সমীকরণে জটিলতা থাকবে না), সেক্ষেত্রে, \[ f^2 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq f^2 \Rightarrow |x| \leq f \] অর্থাৎ, x এর মান হবে \(-f\) থেকে \(f\) পর্যন্ত। 4. **y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য:** প্রতিটি x এর জন্য y এর মান দুইটি (উত্তর ও ঋণাত্মক), তবে y-অক্ষের খণ্ডিত অংশ বলতে মূলত y-অক্ষের উপর যে অংশে বৃত্তটি অবস্থিত, সেটি হলো y এর মানের উপরের অংশের দৈর্ঘ্য, যা হলো: \[ \text{উপরের অংশের দৈর্ঘ্য} = \sqrt{f^2 - x^2} \] \[ \text{নিচের অংশের দৈর্ঘ্য} = -\sqrt{f^2 - x^2} \] অতএব, পুরো y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য (অর্থাৎ, y এর উপরের ও নিচের অংশের যোগফল): \[ 2 \times \sqrt{f^2 - x^2} \] 5. **অর্থাৎ, y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ:** এটি x এর মানের উপর নির্ভরশীল, এবং x এর সীমা \(-f\) থেকে \(f\): \[ \text{পরিমাণ} = \int_{-f}^{f} 2 \sqrt{f^2 - x^2} \, dx \] 6. **সাধারণতঃ, এই ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন (অর্থাৎ, বৃত্তের অর্ধেকের ক্ষেত্রফল) নির্ণয় করে, যা হলো:** \[ \text{অর্ধেক ক্ষেত্রফল} = \frac{\pi f^2}{2} \] অতএব, সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল: \[ \pi f^2 \] তাই, y অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য বা পরিমাণ হলো: \[ 2 \times \sqrt{f^2 - c} \] যেখানে c হলো x এর সীমা বা নির্দিষ্ট মান। তবে, সাধারণ রূপে, y অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ হলো: ```html 2 \sqrt{f^2 - c} ``` **উপসংহার:** \[ \boxed{ \text{Y অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমা???} = 2 \sqrt{f^2 - c} } \] এখানে, c হলো x এর নির্দিষ্ট মান বা সীমা।