$\overrightarrow{a}ও\overrightarrow{b}$ দুটি সমান ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})ও(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ এর ডট গুণফল কত?

ভেক্টর গুণফল নির্ণয়

ধরি, \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) দুটি ভেক্টর। যেহেতু তারা সমান ভেক্টর এবং সমকোণে ক্রিয়া করছে, তাই \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \) এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta = 90^\circ \)।

আমাদের \(( \vec{a} + \vec{b} )\) ও \( (\vec{a} - \vec{b} )\) এর ডট গুণফল নির্ণয় করতে হবে।

ডট গুণফল:

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} \)

যেহেতু ডট গুণফল বিনিময়যোগ্য, তাই \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)। সুতরাং,

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 \)

যেহেতু \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \), তাই \( |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 \)।

সুতরাং, \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 \)

অতএব, \(( \vec{a} + \vec{b} )\) ও \( (\vec{a} - \vec{b} )\) এর ডট গুণফল 0। 🎉