একটি বিন্দুর কোটি 6 এবং বিন্দুটি (5,6) হতে 4 একক দূরে অবস্থিত হলে বিন্দুটির ভুজ কত?
9,1
সমাধান:
ধরা যাক, বিন্দুটির সমন্বয় \((x, y)\)।
প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি বিন্দুর ক্রোড় ৬ এবং এর সাথে বিন্দুটি \((5,6)\) থেকে ৪ একক দূরে অবস্থিত।
ধাপ ১: প্রথম বিন্দুর সমন্বয় নির্ণয় করুন
প্রথম বিন্দুর ক্রোড় ৬, অর্থাৎ:
\[ x^2 + y^2 = 6^2 = 36 \]
ধাপ ২: দ্বিতীয় বিন্দুর সাথে দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করুন
দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব ৪, অর্থাৎ:
\[ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 4^2 = 16 \]
ধাপ ৩: সমাধান করুন
প্রথম সমীকরণ থেকে, \( y^2 = 36 - x^2 \)
দ্বিতীয় সমীকরণে,
\[ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 16 \]
প্রতিস্থাপন করুন \( y^2 \):
\[ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 16 \]
এখানে, \( y - 6 \) এর স্কোয়ার: \( y^2 - 12 y + 36 \)
তালিকাভুক্ত সমীকরণ:
\[ (x - 5)^2 + y^2 - 12 y + 36 = 16 \]
প্রথম থেকে, \( y^2 = 36 - x^2 \), তাই:
\[ (x - 5)^2 + (36 - x^2) - 12 y + 36 = 16 \]
সরলীকরণ:
\[ (x^2 - 10 x + 25) + 36 - x^2 - 12 y + 36 = 16 \]
\[ -10 x + 25 + 36 + 36 - 12 y = 16 \]
\[ -10 x + 97 - 12 y = 16 \]
এখন, সমীকরণ থেকে \( y \) এর মান নির্ণয় করুন:
\[ -12 y = 16 + 10 x - 97 \]
\[ -12 y = 10 x - 81 \]
\[ y = \frac{81 - 10 x}{12} \]
প্রথম সমীকরণে \( y^2 = 36 - x^2 \), সেটি ব্যবহার করে \( y \) এর মান প্রত্যাখ্যান করুন:
\[ y = \pm \sqrt{36 - x^2} \]
অতএব, সমান করতে হবে:
\[ \pm \sqrt{36 - x^2} = \frac{81 - 10 x}{12} \]
ধাপ ৪: সমাধান করুন
উপযুক্ত মান অনুসারে, ধরা যাক, \( y \) এর মান positive:
\[ \sqrt{36 - x^2} = \frac{81 - 10 x}{12} \]
উভয় পাশে স্কোয়ার করি:
\[ 36 - x^2 = \left( \frac{81 - 10 x}{12} \right)^2 \]
\[ 36 - x^2 = \frac{(81 - 10 x)^2}{144} \]
উভয় পাশ গুণ করি 144 দ্বারা:
\[ 144 \times (36 - x^2) = (81 - 10 x)^2 \]
\[ 144 \times 36 - 144 x^2 = (81 - 10 x)^2 \]
\[ 5184 - 144 x^2 = 6561 - 1620 x + 100 x^2 \]
সব সমীকরণ এক পাশে নিয়ে আসি:
\[ 0 = 6561 - 1620 x + 100 x^2 - 5184 + 144 x^2 \]
\[ 0 = (6561 - 5184) - 1620 x + (100 x^2 + 144 x^2) \]
\[ 0 = 1377 - 1620 x + 244 x^2 \]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:
\[ 244 x^2 - 1620 x + 1377 = 0 \]
ধাপ ৫: সমীকরণের সমাধান করুন
সাধারণ সূত্র: \(ax^2 + bx + c = 0\)
এখানে, \(a=244\), \(b=-1620\), \(c=1377\)
সমাধান:
\[ x = \frac{1620 \pm \sqrt{(-1620)^2 - 4 \times 244 \times 1377}}{2 \times 244} \]
অংকনির্ণয়:
\[ x = \frac{1620 \pm \sqrt{2,624,400 - 1,344,912}}{488} \]
\[ x = \frac{1620 \pm \sqrt{1,279,488}}{488} \]
প্রায়:
\[ \sqrt{1,279,488} \approx 1130.8 \]
তাহলে:
\[ x = \frac{1620 \pm 1130.8}{488} \]
প্রথম মান:
\[ x = \frac{1620 + 1130.8}{488} \approx \frac{2750.8}{488} \approx 5.64 \]
দ্বিতীয় মান:
\[ x = \frac{1620 - 1130.8}{488} \approx \frac{489.2}{488} \approx 1.00 \]