\( 3x + 7y-2 = 0 \) সরলরেখার উপর লম্ব এবং (2,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ—
সমাধান:
প্রথমে, সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:
\( 3x + 7y - 2 = 0 \)
এটি একটি সরলরেখা। এখন, এই রেখার উপর লম্ব (অর্থাৎ, উল্টো ঢাল) রেখার সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে।
ধাপ ১: মূল রেখার ঢাল নির্ণয়
মূল রেখার সমীকরণঃ
\( 3x + 7y - 2 = 0 \)
এটি সমাধান করি y এর জন্য:
\( 7y = -3x + 2 \)
অতঃ
\( y = -\frac{3}{7}x + \frac{2}{7} \)
অর্থাৎ, এই রেখার ঢাল: \( m_1 = -\frac{3}{7} \)
ধাপ ২: লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয়
যেহেতু, দুটি রেখা লম্ব হলে তাদের ঢাল গুণফল -1 হয়।
অর্থাৎ, লম্ব রেখার ঢাল \( m_2 \):
\( m_1 \times m_2 = -1 \)
অতঃ
\( -\frac{3}{7} \times m_2 = -1 \)
অতঃ
\( m_2 = \frac{7}{3} \)
ধাপ ৩: লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয়
আমরা জানি, এই লম্ব রেখা পয়েন্ট \((2,1)\) দিয়ে যায়। এই পয়েন্ট ব্যবহার করে রেখার সমীকরণ খুঁজে নিই।
সাধারণ রেখার সমীকরণ:
\( y - y_1 = m (x - x_1) \)
এখানে, \( (x_1, y_1) = (2, 1) \), এবং \( m = \frac{7}{3} \)
অতঃ
\( y - 1 = \frac{7}{3} (x - 2) \)
প্রথমে, সমীকরণটি সরল করি:
\( y - 1 = \frac{7}{3}x - \frac{14}{3} \)
দুটি পাশ গুণে ৩ করে:
\( 3y - 3 = 7x - 14 \)
অতঃ
\( 3y = 7x - 11 \)
অথবা, সরলরেখার সমীকরণ:
\( 7x - 3y - 11 = 0 \)
উত্তর:
সরলরেখার সমীকরণ যা মূল রেখার উপর লম্ব এবং (2,1) বিন্দু দিয়ে যায় তা হলো:
\( \boxed{7x - 3y - 11 = 0} \)