ABC ত্রিভুজের তিনটি বাহু a,b,c এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে-
সঠিক উত্তরঃ
D.
Δ=(abc)/(4R)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে—
উত্তর:
প্রথমে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( \Delta \) নির্ণয় করি।
পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( R \) হলে, ত্রিভুজের অর্ধবৃত্তের কেন্দ্র থেকে তিন বাহুর মধ্যে অর্ধেক দিকের দৈর্ঘ্য \( s = \frac{a + b + c}{2} \)।
আমাদের লক্ষ্য হলো, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( \Delta \) এর সাথে বাহু \( a, b, c \) এবং \( R \) এর সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করা।
প্রথমত, জানি:
\[
\text{সাধারণ ক্ষেত্রফল} \quad \Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
\]
অথবা,
\[
\Delta = \frac{abc}{4R}
\]
এখন, এই সম্পর্কটি প্রমাণ করতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি।
**প্রমাণ:**
ত্রিভুজের অর্ধবৃত্তের কেন্দ্র থেকে বাহুগুলির মাঝপথে ক্ষত্রিয়ের কোণ \( \theta \) এর সাথে সম্পর্ক রয়েছে।
ত্রিভুজের বাহুগুলির জন্য,
\[
a = 2 R \sin A, \quad b = 2 R \sin B, \quad c = 2 R \sin C
\]
এবং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
\[
\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2 R \sin A \times 2 R \sin B \times \sin C
\]
অথবা,
\[
\Delta = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C
\]
এখন, ত্রিভুজের কোণগুলির জন্য,
\[
\sin A \sin B \sin C = \frac{1}{8} (a c + b c + a b)/R^3 \quad \text{(বিশ্লেষণধারার জন্য)}
\]
তবে, সরাসরি, এই সম্পর্কের মাধ্যমে,
\[
\Delta = \frac{abc}{4 R}
\]
**সুতরাং,**
\[
\boxed{\Delta = \frac{abc}{4 R}}
\]