\( \int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx = ? \)
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো:
\[
\int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx
\]
এটি একটি বৃত্তের আয়তনের আংশিক ইন্টিগ্রাল। এই বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
x^2 + y^2 = 4
\]
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি রেডিয়াস 2 এর বৃত্তের উপর। ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন নির্ণয় করবে, যেখানে \(x\) এর মান 0 থেকে 2 পর্যন্ত।
সমাধান:
\[
\int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx
\]
এই ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন নির্ণয় করতে পারে। বৃত্তের পূর্ণ আয়তন হলো:
\[
\text{Area of full circle} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi
\]
উপরের অর্ধেকের আয়তন:
\[
\frac{1}{2} \times 4\pi = 2\pi
\]
অর্থাৎ, এই ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন সমান, যা হয়:
\[
\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\pi
\]
আমাদের ইন্টিগ্রালটি শুধুমাত্র \(x=0\) থেকে \(x=2\) পর্যন্ত, অর্থাৎ বৃত্তের এক চতুর্থাংশের আয়তন। তাই,
\[
\int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx = \frac{1}{4} \times 4\pi = \pi
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\pi}
\]