xy = c² অধিবৃত্ত, x-অক্ষ এবং x = a ও x = b রেখা দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

প্রশ্ন: \(xy = c^2\) অধিবৃত্ত, \(x\)-অক্ষ এবং \(x = a\) ও \(x = b\) রেখা দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

অধিবৃত্তের সমীকরণ: \(xy = c^2\), সুতরাং \(y = \frac{c^2}{x}\).

\(x = a\) ও \(x = b\) রেখা এবং \(x\)-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমাদের \(\int_a^b y \, dx\) এর মান বের করতে হবে।

স???তরাং, ক্ষেত্রফল \(A = \int_a^b \frac{c^2}{x} \, dx\).

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\), যেখানে \(C\) একটি ধ্রুবক।

অতএব, \(A = c^2 \int_a^b \frac{1}{x} \, dx = c^2 [\ln|x|]_a^b = c^2 (\ln|b| - \ln|a|)\).

লগারিদমের নিয়ম অনুসারে, \(\ln|b| - \ln|a| = \ln\left|\frac{b}{a}\right|\).

সুতরাং, ক্ষেত্রফল \(A = c^2 \ln\left|\frac{b}{a}\right|\).

যেহেতু \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক, তাই আমরা লিখতে পারি: \(A = c^2 \ln\left(\frac{b}{a}\right)\).

উত্তর: \(c^2 \ln\left(\frac{b}{a}\right)\) 😃