k-এর কোন মানের জন্য y= kx (1- x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি x -  অক্ষের সাথে 30০ কোণ উৎপন্ন করে?

 

y = kx(1 - x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শক \( x \) - অক্ষের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। k এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🤔

প্রথমে, বক্ররেখাটিকে একটু সরল করি: \( y = kx - kx^2 \)

এবার, \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি, যা আমাদের স্পর্শকের ঢাল \( \frac{dy}{dx} \) দেবে। 🧐

\(\frac{dy}{dx} = k - 2kx \)

যেহেতু স্পর্শকটি মূলবিন্দুতে, তাই \( (0, 0) \) বিন্দুতে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান বের করতে হবে।

\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,0)} = k - 2k(0) = k \)

আমরা জানি, স্পর্শকের ঢাল \( m = \tan(\theta) \), যেখানে \( \theta \) হলো \( x \) - অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ। 🥰

এখানে, \( \theta = 30^\circ \), সুতরাং \( m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

অতএব, \( k = \frac{1}{\sqrt{3}} \)। 🎉

সুতরাং, \( k \) এর মান \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)।