x⁴-4x³+4x²+5 এর লঘিষ্ঠ মান-

 

প্রশ্ন: \(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 5\) এর লঘিষ্ঠ মান নির্ণয় কর। 🤔

সমাধান:

ধরি, \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 5\)

এখন, \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x\)

চরম বা অবম মানের জন্য, \(f'(x) = 0\) হবে।

অতএব, \(4x^3 - 12x^2 + 8x = 0\)
বা, \(4x(x^2 - 3x + 2) = 0\)
বা, \(4x(x - 1)(x - 2) = 0\)

সুতরাং, \(x = 0, 1, 2\)

এখন, \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 8\)

\(x = 0\) হলে, \(f''(0) = 8 > 0\), সুতরাং \(x = 0\) বিন্দুতে \(f(x)\)-এর একটি স্থানীয় অবম মান আছে।

\(x = 1\) হলে, \(f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0\), সুতরাং \(x = 1\) বিন্দুতে \(f(x)\)-এর একটি স্থানীয় চরম মান আছে।

\(x = 2\) হলে, \(f''(2) = 12(4) - 24(2) + 8 = 48 - 48 + 8 = 8 > 0\), সুতরাং \(x = 2\) বিন্দুতে \(f(x)\)-এর একটি স্থানীয় অবম মান আছে।

\(x = 0\) হলে, \(f(0) = 0 - 0 + 0 + 5 = 5\)

\(x = 2\) হলে, \(f(2) = 2^4 - 4(2^3) + 4(2^2) + 5 = 16 - 32 + 16 + 5 = 5\)

অতএব, লঘিষ্ঠ মান = 5। 🎉