k এর কোন মানের জন্য \( (x-y+3)^2+(kx+2)(y-1)=0 \) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

আমরা মনে করি যে, সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। সমীকরণটি হলো: \[ (x - y + 3)^2 + (k x + 2)(y - 1) = 0 \] আমরা চাই এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের সাধারণ রূপে রূপান্তরিত হোক, যেখানে বৃত্তের সাধারণ রূপ হলো: \[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \] এবং এর জন্য নির্ণয় করতে হবে যে, এই সমীকরণের জন্য কেবলমাত্র \(x\) ও \(y\) এর মতো সারিবদ্ধ অংশ থাকবে এবং কোন অসমমিতরূপ বা অপ্রয়োজনীয় ভগ্নাংশ থাকবে না। প্রথমে, সমীকরণটি বিশ্লেষণ করি: \[ (x - y + 3)^2 + (k x + 2)(y - 1) = 0 \] বিস্তৃত করি: \[ (x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9) + (k x y - k x + 2 y - 2) = 0 \] সংকলন করি: \[ x^2 + y^2 - 2 xy + 6x - 6 y + 9 + k x y - k x + 2 y - 2 = 0 \] অত: \[ x^2 + y^2 + (-2 xy + k x y) + (6x - k x) + (-6 y + 2 y) + (9 - 2) = 0 \] সাম্যবস্থা অনুযায়ী: \[ x^2 + y^2 + (k x y - 2 xy) + (6x - k x) + (-4 y) + 7 = 0 \] \[ x^2 + y^2 + (k - 2) xy + (6 - k) x - 4 y + 7 = 0 \] একটি বৃত্তের জন্য, সমীকরণটি \(x^2 + y^2 + \text{linear terms} = \text{constant}\) এর রূপে থাকতে হবে, অর্থাৎ, \(xy\) এর টার্মটি অবশ্যই শূন্য হতে হবে। তাই: \[ k - 2 = 0 \] অর্থাৎ: \[ k = 2 \] এখন, যখন \(k=2\), সমীকরণটি হয়: \[ x^2 + y^2 + (6 - 2) x - 4 y + 7 = 0 \] \[ x^2 + y^2 + 4x - 4 y + 7 = 0 \] এটি একটি বৃত্তের সাধারণ রূপ। এখন, বৃত্তের কেন্দ্র ও রেডিয়াস নির্ণয় করি: সম্পূর্ণ বৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + 4x + y^2 - 4 y + 7 = 0 \] সম্পূর্ণ স্কোয়ার করি: \[ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 4 y + 4) = -7 + 4 + 4 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1 \] এখানে কেন্দ্র \(( -2, 2)\) এবং রেডিয়াস \(\sqrt{1} = 1\)। এই সমীকরণটি অবশ্যই একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। অতএব, **\(k=2\)** মানের জন্য সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।