\( \log_r p = q \) এবং \( \log_q r = p \) হলে \( \log_q p =? \)

Another Explanation (5): প্রথমে, দেওয়া সমীকরণগুলো লিখি:

\( \log_r p = q \) ...(1)
\( \log_q r = p \) ...(2)

এখন, সমীকরণ (1) থেকে:

\( \log_r p = q \)
=> \( p = r^q \)  ...(3)

এবং সমীকরণ (2) থেকে:

\( \log_q r = p \)
=> \( r = q^p \)  ...(4)

এখন, (3) এবং (4) থেকে:

\( p = r^q \)
এবং
\( r = q^p \)

এখন, \( p \) এর মান \( r^q \) এর মধ্যে রেখে:
\[
r = q^{p} = q^{r^{q}}
\]

এখন, এই সমীকরণে \( r \) এর মান পেতে:
\[
r = q^{r^{q}}
\]

অথবা,
\[
\log_q r = r^{q}
\]

অতএব, সমীকরণ (2) অনুযায়ী,
\[
p = \log_q r
\]

এবং আমরা জানি \( p \) এর মান \( r^q \), তাই:
\[
p = r^q
\]

এখন, আবার \( r = q^{p} \) থেকে:
\[
r = q^{p}
\]
অর্থাৎ,
\[
\log_q r = p
\]

তাই,
\[
p = \log_q r
\]

এখন, আমাদের লক্ষ্য \( \log_q p \) নির্ণয় করা। এটি লিখতে পারি:
\[
\log_q p
\]

এখন, \( p = r^q \) এবং \( r = q^{p} \) থেকে:
\[
p = (q^{p})^{q} = q^{p q}
\]

অতএব:
\[
p = q^{p q}
\]

লগারিথম ব্যবহার করে:
\[
\log_q p = p q
\]

অতএব, উত্তর হলো:
\( \boxed{pq} \)