120 জন ছাত্রের মধ্যে 75 জন ক্রিকেট খেলে এবং 65 জন ফুটবল খেলে। কতজন উভয় খেলাই খেলে?

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া তথ্য অনুযায়ী:

• মোট ছাত্রের সংখ্যা, \(N = 120\)
• ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, \(A = 75\)
• ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, \(B = 65\)

আমরা জানি, দুটি সেটের মিলন (union) এর জন্য সূত্র:

\( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \)

অর্থাৎ, যেখানে \( |A \cup B| \) হলো মোট ছাত্রের সংখ্যা যাঁরা কমপক্ষে একটি খেলা খেলেন।

এখানে, সর্বমোট ছাত্রের সংখ্যা 120, তাই:

\( |A \cup B| \leq 120 \)

সুতরাং,

\( |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \)

যেহেতু, সর্বমোট ছাত্রের সংখ্যা 120, তাই:

\( |A \cup B| \leq 120 \)

সুতরাং,

\( |A \cap B| = 75 + 65 - |A \cup B| \)

এবং, \( |A \cup B| \geq 75 \) (যদি সব ছাত্র ক্রিকেট বা ফুটবল বা উভয়ই না খেলেন তবে এটি সর্বনিম্ন হতে পারে)।

অতএব, সর্বোচ্চ অপশন হিসেবে, যদি সবাই কমপক্ষে এক খেলা খেলে, তাহলে:

\( |A \cup B| = 120 \)

অতএব,

\( |A \cap B| = 75 + 65 - 120 = 140 - 120 = 20 \)

অতএব, উভয় খেলাই খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা হলো 20।