cosθ+sinθ=√2 হলে θ এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা জানি, \[ \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \]

প্রথমে, \(\cos \theta + \sin \theta\) এর মানকে এক রূপে লিখি। আমরা জানি যে, \[ \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cdot \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \] (কারণ, \[ \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta \] অর্থাৎ, \[ \sqrt{2} \cdot \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \theta + \sin \theta \]

এখন, মূল সমীকরণ অনুসারে, \[ \sqrt{2} \cdot \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \] অর্থাৎ, \[ \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \] এখন, \(\sin x = 1\) হলে, \[ x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] সুতরাং, \[ \theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \] অতএব, \[ \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2n\pi = \frac{\pi}{4} + 2n\pi \] এখানে, \(n\) হলো কোনো পূর্ণসংখ্যা। **উপসংহার:** \[ \boxed{\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4}}, \quad n \in \mathbb{Z} \]