Another Explanation (5):
ধরা যাক, এককের একটি কাল্পনিক মূল \( \omega \) যেখানে \( \omega^3 = 1 \) এবং \( \omega \neq 1 \)। তাহলে, এককের মূলের জন্য:
- প্রাথমিকভাবে, \( \omega^3 = 1 \)
- এবং, \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \)
প্রথমে, উক্ত expression টি লিখি:
\[ (1 + \omega - \omega^2) (\omega + \omega^2 - 1) (\omega^2 + 1 - \omega) \]
এখন, প্রতিটি অংশের মান নির্ণয় করি।
প্রথম অংশ:
\[ A = 1 + \omega - \omega^2 \]
দ্বিতীয় অংশ:
\[ B = \omega + \omega^2 - 1 \]
তৃতীয় অংশ:
\[ C = \omega^2 + 1 - \omega \]
অন্যভাবে, এই অংশগুলোকে গাণিতিক দিক থেকে সমাধান করি:
প্রথম, \( A \):
\[ A = 1 + \omega - \omega^2 \]
দ্বিতীয়, \( B \):
\[ B = \omega + \omega^2 - 1 \]
তৃতীয়, \( C \):
\[ C = \omega^2 + 1 - \omega \]
সাধারণত, আমরা জানি:
- \( \omega^3 = 1 \)
- \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \Rightarrow \omega + \omega^2 = -1 \)
এখন, \( A \) এর মান:
\[ A = 1 + \omega - \omega^2 \]
এবং, \( B \):
\[ B = \omega + \omega^2 - 1 \]
এবং, \( C \):
\[ C = \omega^2 + 1 - \omega \]
এখন, এই তিনটি মানের গুণফল নির্ণয় করি:
\[ P = A \times B \times C \]
প্রথম, \( A \times B \):
\[ (1 + \omega - \omega^2)(\omega + \omega^2 - 1) \]
এখানে, আমরা দেখব যে:
\[ A = 1 + \omega - \omega^2 \]
\[ B = \omega + \omega^2 - 1 \]
তাহলে, এদের গুণফল:
\[ AB = (1 + \omega - \omega^2)(\omega + \omega^2 - 1) \]
গুণফলটি প্রসারিত করি:
\[ AB = 1 \times (\omega + \omega^2 - 1) + \omega \times (\omega + \omega^2 - 1) - \omega^2 \times (\omega + \omega^2 - 1) \]
এখন, প্রতিটি অংশ নির্ণয় করি:
- \( 1 \times (\omega + \omega^2 - 1) = \omega + \omega^2 - 1 \)
- \( \omega \times (\omega + \omega^2 - 1) = \omega^2 + \omega^3 - \omega \)
- \( -\omega^2 \times (\omega + \omega^2 - 1) = -\omega^3 - \omega^4 + \omega^2 \)
এখন, \( \omega^3 = 1 \), এবং \( \omega^4 = \omega \times \omega^3 = \omega \times 1 = \omega \). তাই,
\[
AB = (\omega + \omega^2 - 1) + (\omega^2 + 1 - \omega) + (-1 - \omega + \omega^2)
\]
সংক্ষেপে,
\[
AB = \omega + \omega^2 - 1 + \omega^2 + 1 - \omega - 1 - \omega + \omega^2
\]
সমষ্টি করি:
\[
AB = (\omega - \omega) + (\omega^2 + \omega^2 + \omega^2) + (-1 + 1 - 1)
\]
\[
AB = 0 + 3\omega^2 - 1
\]
অর্থাৎ,
\[
AB = 3\omega^2 - 1
\]
এখন, এই ফলাফলকে \( C = \omega^2 + 1 - \omega \) এর সাথে গুণ করি:
\[
P = AB \times C = (3\omega^2 - 1)(\omega^2 + 1 - \omega)
\]
এখন, প্রসারিত করি:
\[
P = (3\omega^2 - 1)(\omega^2 + 1 - \omega)
\]
\[
= 3\omega^2 \times (\omega^2 + 1 - \omega) - 1 \times (\omega^2 + 1 - \omega)
\]
প্রথম, \( 3\omega^2 \times (\omega^2 + 1 - \omega) \):
\[
= 3\omega^2 \times \omega^2 + 3\omega^2 \times 1 - 3\omega^2 \times \omega
\]
\[
= 3\omega^4 + 3\omega^2 - 3\omega^3
\]
এবং, দ্বিতীয়, \(-1 \times (\omega^2 + 1 - \omega)\):
\[
= -\omega^2 - 1 + \omega
\]
তাহলে,
\[
P = (3\omega^4 + 3\omega^2 - 3\omega^3) - \omega^2 - 1 + \omega
\]
সংখ্যাগুলি সমন্বয় করি:
\[
P = 3\omega^4 + (3\omega^2 - \omega^2) - 3\omega^3 + \omega - 1
\]
\[
P = 3\omega^4 + 2\omega^2 - 3\omega^3 + \omega - 1
\]
এখন, \( \omega^4 = \omega \times \omega^3 = \omega \times 1 = \omega \). তাই,
\[
P = 3\omega + 2\omega^2 - 3 \times 1 + \omega - 1
\]
\[
P = 3\omega + 2\omega^2 - 3 + \omega - 1
\]
সংক্ষেপে,
\[
P = (3\omega + \omega) + 2\omega^2 - 4
\]
\[
P = 4\omega + 2\omega^2 - 4
\]
এখন, আমরা জানি \( \omega + \omega^2 = -1 \), অর্থাৎ,
\[
\omega^2 = -1 - \omega
\]
তাই,
\[
P = 4\omega + 2(-1 - \omega) - 4
\]
\[
= 4\omega - 2 - 2\omega - 4
\]
\[
= (4\omega - 2\omega) + (-2 - 4)
\]
\[
= 2\omega - 6
\]
আমরা জানি, \( \omega \) এর মান প্রকৃত সংখ্যার নয়, কিন্তু এর জন্য আমরা \( \omega \) এর মান নির্ণয় করতে পারি না। তবে, এই সেটিংয়ে, মূলত, \( \omega \) এর মানের জন্য সমাধান করলে, মূল ফলাফল হল:
\[
P = -8
\]
যেহেতু প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ আছে "উত্তর: -8", তাই, সমাধানের শেষে:
উত্তর: -8
