$ y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 $ বক্ররেখার $ (2, 2) $ বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?

Question

Accepted Answer

সঠিক উত্তর: $ x + y - 4 = 0 $। ব্যাখ্যা: Hints: বক্ররেখাটির $(2,2)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ বের করতে হবে। কারণ স্পর্শকের উপর লম্ব অবস্থানেই হচ্ছে অভিলম্ব।  
Solve: $y^2 = x^3 - 2x^2 + 4$  
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ,  
$2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 4x}{2y}$  
$(2,2)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{3\cdot2^2 - 4\cdot2}{2\cdot2} = 1$  
স্পর্শকের উপর লম্বরেখার ঢাল $m_2$  
$\therefore m_1 \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -1$  
$(2,2)$ বিন্দুতে $-1$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ  
$y - y_1 = m_2 (x - x_1) \implies y - 2 = -1(x - 2) \implies x + y - 4 = 0$  
Ans. (D)  
ব্যাখ্যা:  
$* বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল \(m_1 = \frac{dy}{dx}$  
* দুইটা রেখার ঢালের গুণফল $-1$  
* $(x_1, y_1)$ বিন্দুগামী কোন সরলরেখার সমীকরণ, $y - y_1 = m(x - x_1)$।  
চিত্রটি খেয়াল করো:  
$m_1 \times m_2 = -1$।  
By Calculator: $y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \implies y = \sqrt{x^3 - 2x^2 + 4}$।  
একে ক্যালকুলেটরের সাহায্যে $\frac{d}{dx}$ করলে মান আসে $1$ $(x = 2 \text{ ধরে})$।  
এখন অপশন থেকে যে রেখার ঢালের সাথে এই $1$ কে গুণ করলে $-1$ আসবে সেটাই Answer।  
অপশন $(D)$ এর ঢাল $-1$, যাকে $1$ এর সাথে গুণ করলে পাওয়া যায় $-1$। অর্থাৎ Ans. (D)।

\( y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \) বক্ররেখার \( (2, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?

প্রশ্ন: \( y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \) বক্ররেখার \( (2, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?