মূলবিন্দু থেকে 3 একক দূরবর্তী এবং 4x - 3y+7=0 এর লম্ব রেখার সমীকরণ —

1. 3x+4y+15=0
2. 3x-4y-15=0
3. 3x+4y-15=0

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: মূলব??ন্দু থেকে 3 একক দূরবর্তী এবং রেখার সমীকরণ \( 4x - 3y + 7 = 0 \) এর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। উত্তরে দেওয়া অপশনগুলো হলো: (i) \( 3x + 4y + 15 = 0 \) (ii) \( 3x - 4y - 15 = 0 \) (iii) \( 3x + 4y - 15 = 0 \) --- প্রথমে উল্লেখ্য যে, মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) থেকে রেখার দূরত্ব \( d \) নিম্নরূপ: \[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] এবং রেখার সমীকরণ \( A x + B y + C = 0 \) হলে, এর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে: \[ A x + B y + D = 0 \] যেখানে, \( D \) ঠিক করার জন্য, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \( d = 3 \) একক হয়। --- ধরা যাক মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) যার উপর রেখা লম্ব এবং দূরত্ব 3। প্রথমে, মৌলিক তথ্য: রেখার সমীকরণ: \( 4x - 3y + 7 = 0 \) নির্ণয় করি এর লম্ব রেখার সমীকরণ। যেহেতু, \( A = 4 \), \( B = -3 \), তাহলে লম্ব রেখার সমীকরণ হবে: \[ 4x - 3y + D = 0 \] এবং মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব: \[ d = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5} \] আমাদের জানি, \( d = 3 \), তাই: \[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \] --- তবে, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব 3, তাই: \[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \] অন্যদিকে, যেহেতু রেখা লম্ব, তার সমীকরণ হবে \( 4x - 3y + D = 0 \) যেখানে \( D \) নির্ণয় করতে হবে। মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব 3, অর্থাৎ: \[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \] আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব: \[ d = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5} = 3 \] অর্থাৎ, \[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \] --- এখন, মানে এই যে, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব কেবলমাত্র \( D \) এর উপর নির্ভর করে। কিন্তু মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) এর অবস্থান জানা নেই। তবে, যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া অপশনগুলো, আমরা দেখব কোন সমীকরণটি মূলবিন্দু থেকে 3 একক দূরত্বে এবং লম্ব। --- পরবর্তী, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব: \[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] এবং লম্ব রেখার সমীকরণ: \( 4x - 3y + D = 0 \)। অতএব, \( A = 4 \), \( B = -3 \)। প্রথমত, মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) থেকে রেখার দূরত্ব 3, তাহলে: \[ 3 = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5} \] অর্থাৎ, \[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \] --- এখন দেখা যাক অপশনগুলো: 1. \( 3x + 4y + 15 = 0 \) 2. \( 3x - 4y - 15 = 0 \) 3. \( 3x + 4y - 15 = 0 \) অথবা, এই সমীকরণগুলোর লম্ব রেখার সমীকরণ: - অপশন (i): \( 3x + 4y + 15 = 0 \) - অপশন (ii): \( 3x - 4y - 15 = 0 \) - অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \) --- প্রথমে, অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \) এটির কাছাকাছি দেখতে গেলে, এই রেখার সাধারণ সমীকরণ \( A x + B y + C = 0 \) এর মধ্যে \( A = 3 \), \( B = 4 \), \( C = -15 \)। এবং, এর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে: \[ 3x + 4y + D' = 0 \] এবং মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব: \[ d' = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D'|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D'|}{5} \] আমাদের লক্ষ্য হলো যে, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব 3। অর্থাৎ: \[ |3x_0 + 4y_0 + D'| = 15 \] এবং, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব: \[ d' = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D'|}{5} = 3 \Rightarrow |3x_0 + 4y_0 + D'| = 15 \] এখানে, যদি \( D' = -15 \), তাহলে: \[ |3x_0 + 4y_0 - 15| = 15 \] সাধারণত, এই সমীকরণে, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক হবে। এই সমীকরণের জন্য, মূলবিন্দু \( P \) এর অবস্থান নির্ণয় না করেও দেখা যায় যে, এই সমীকরণটি \( 3x + 4y - 15 = 0 \) এর লম্ব রেখার সমীকরণ। অতএব, অপশন (iii) এই শর্ত পূরণ করে। --- অপরদিকে, অপশন (i): \( 3x + 4y + 15 = 0 \): অতএব, এই রেখার সমীকরণ: \[ 3x + 4y + 15 = 0 \] এই রেখার লম্ব সমীকরণ হবে: \[ 3x + 4y + D'' = 0 \] এবং দূরত্ব: \[ d'' = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D''|}{5} \] অর্থাৎ, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব: \[ |3x_0 + 4y_0 + D''| = 15 \] যদিও, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব 3 একক হবে, তবে মূলবিন্দু এর অবস্থান নির্ধারণ না করে, এই সমীকরণ কে লম্ব রেখার সমীকরণ হিসেবে গ্রহণ করি, যেখানে দূরত্ব মান 15। তাই, এটি মূলবিন্দু থেকে 3 একক দূরত্বের জন্য নয়। ফলে, এটি সঠিক নয়। --- অতএব, শুধুমাত্র অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \) এর জন্য, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক হয়, ও এটি লম্ব রেখার সমীকরণ। সুতরাং, সঠিক উত্তর: **i, iii**। --- **চূড়ান্ত উত্তর:** ```html

প্রথমে, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব সূত্র অনুযায়ী, রেখার সমীকরণের জন্য:

\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

এবং, একটি রেখার লম্ব সমীকরণ হবে:

\[ A x + B y + D = 0 \]

এবং, মূলবিন??দু থেকে দূরত্ব 3 একক, তাই:

\[ |A x_0 + B y_0 + D| = 15 \]

প্রশ্নে দেওয়া রেখা: \( 4x - 3y + 7 = 0 \)

অতএব, এর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে:

\[ 4x - 3y + D = 0 \]

এবং, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব:

\[ 3 = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5} \Rightarrow |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \]

অতএব, দুই সমীকরণের মধ্যে সম্পর্ক হলো:

\[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \]

অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখা যায়, অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \), এবং অপশন (i): \( 3x + 4y + 15 = 0 \) এই দুটি রেখার জন্য মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক হয় না, তবে অপশন (iii) এর জন্য সত্যি।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: i, iii

```