\( 3x + 7y-2 = 0 \) সরলরেখার উপর লম্ব এবং (2,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ—

সমাধান:

প্রথমে, সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:

\( 3x + 7y - 2 = 0 \)

এটি একটি সরলরেখা। এখন, এই রেখার উপর লম্ব (অর্থাৎ, উল্টো ঢাল) রেখার সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে।

ধাপ ১: মূল রেখার ঢাল নির্ণয়

মূল রেখার সমীকরণঃ

\( 3x + 7y - 2 = 0 \)

এটি সমাধান করি y এর জন্য:

\( 7y = -3x + 2 \)

অতঃ

\( y = -\frac{3}{7}x + \frac{2}{7} \)

অর্থাৎ, এই রেখার ঢাল: \( m_1 = -\frac{3}{7} \)

ধাপ ২: লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয়

যেহেতু, দুটি রেখা লম্ব হলে তাদের ঢাল গুণফল -1 হয়।

অর্থাৎ, লম্ব রেখার ঢাল \( m_2 \):

\( m_1 \times m_2 = -1 \)

অতঃ

\( -\frac{3}{7} \times m_2 = -1 \)

অতঃ

\( m_2 = \frac{7}{3} \)

ধাপ ৩: লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয়

আমরা জানি, এই লম্ব রেখা পয়েন্ট \((2,1)\) দিয়ে যায়। এই পয়েন্ট ব্যবহার করে রেখার সমীকরণ খুঁজে নিই।

সাধারণ রেখার সমীকরণ:

\( y - y_1 = m (x - x_1) \)

এখানে, \( (x_1, y_1) = (2, 1) \), এবং \( m = \frac{7}{3} \)

অতঃ

\( y - 1 = \frac{7}{3} (x - 2) \)

প্রথমে, সমীকরণটি সরল করি:

\( y - 1 = \frac{7}{3}x - \frac{14}{3} \)

দুটি পাশ গুণে ৩ করে:

\( 3y - 3 = 7x - 14 \)

অতঃ

\( 3y = 7x - 11 \)

অথবা, সরলরেখার সমীকরণ:

\( 7x - 3y - 11 = 0 \)

উত্তর:

সরলরেখার সমীকরণ যা মূল রেখার উপর লম্ব এবং (2,1) বিন্দু দিয়ে যায় তা হলো:

\( \boxed{7x - 3y - 11 = 0} \)