3x-4y-12 = 0 সরলরেখার উপর লম্ব এবং (1, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: \[ 3x - 4y - 12 = 0 \] এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ। এই রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অভিমুখ নির্ণয় করতে, আমরা এর ধ্রুবক ধ্রুবক (normal vector) গণনা করি: \[ \vec{n}_1 = (3, -4) \] এখন, এই রেখার উপর লম্ব (অর্থাৎ, লম্ব দিকের রেখার সমীকরণ) এর জন্য, আমাদের এমন একটি রেখার সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে যা এই normal vector এর সাথে লম্ব। অর্থাৎ, এই নতুন রেখার normal vector হবে \(\vec{n}_2\) যা \(\vec{n}_1\) এর সাথে লম্ব: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \] ধরা যাক, \(\vec{n}_2 = (a, b)\), তবে \(\vec{n}_2\) এর সাথে \(\vec{n}_1\) এর ডট প্রোডাক্ট থাকবে 0: \[ 3a + (-4)b = 0 \] অর্থাৎ, \[ 3a - 4b = 0 \] এখানে, আমরা এমন \(a\) ও \(b\) নির্বাচন করতে পারি, যা এই সমীকরণ পূরণ করে। সাধারণত, \(a\) এর মান ধরি, তাহলে: \[ b = \frac{3a}{4} \] অর্থাৎ, normal vector এর এর সমীকরণ হবে: \[ \vec{n}_2 = (a, \frac{3a}{4}) = a \left(1, \frac{3}{4}\right) \] সাধারণত, \(a=4\) নেওয়া যায়, যাতে সমীকরণটি সহজ হয়: \[ \vec{n}_2 = (4, 3) \] এখন, এই normal vector \(\vec{n}_2 = (4, 3)\) দিয়ে, লম্ব রেখার সমীকরণ লিখতে পারি। যেহেতু এই রেখাটি (1, 2) বিন্দু দিয়ে যায়, তাই: \[ 4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \] বিস্তৃত করে: \[ 4x - 4 + 3y - 6 = 0 \] \[ 4x + 3y - 10 = 0 \] অতএব, সরলরেখার সমীকরণ যা লম্ব এবং (1, 2) বিন্দুগামী: \[ \boxed{4x + 3y - 10 = 0} \]

উত্তর:

4x + 3y - 10 = 0