\( 5x - 7y – 15 = 0 \) সরলরেখার উপর লম্ব এবং (2, -3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হবে-
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দুটি সরলরেখার সমীকরণ জানা প্রয়োজন:
- প্রথম রেখা: \( 5x - 7y - 15 = 0 \)
- দ্বিতীয় রেখা: যে লম্ব ও (2, -3) বিন্দু দিয়ে যায়।
ধাপ ১: প্রথমের রেখার ধ্রুবক সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:
\( 5x - 7y = 15 \)
ধাপ ২: প্রথম রেখার থেকে সরলরেখার স্লোপ (gradient) নির্ণয় করি:
\( y \) এর জন্য সমীকরণটি লিখি:
\( 5x - 7y = 15 \Rightarrow 7y = 5x - 15 \Rightarrow y = \frac{5}{7}x - \frac{15}{7} \)
সুতরাং, ধ্রুবক স্লোপ \( m_1 = \frac{5}{7} \)।
ধাপ ৩: যেহেতু দ্বিতীয় রেখা লম্ব, তাই এর স্লোপ হবে বিপরীত ও ঋণাত্মক এর উল্টো বিপরীত স্লোপ:
\( m_2 = - \frac{1}{m_1} = - \frac{1}{\frac{5}{7}} = - \frac{7}{5} \)
ধাপ ৪: দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ লিখি, যা (2, -3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং স্লোপ \( -\frac{7}{5} \):
ব্যবহার করি সূত্র:
\( y - y_1 = m (x - x_1) \)
\( y - (-3) = - \frac{7}{5} (x - 2) \)
\( y + 3 = - \frac{7}{5} (x - 2) \)
ধাপ ৫: সমীকরণটি সরল করি:
\( y + 3 = - \frac{7}{5} x + \frac{14}{5} \)
\( y = - \frac{7}{5} x + \frac{14}{5} - 3 \)
\( y = - \frac{7}{5} x + \frac{14}{5} - \frac{15}{5} \)
\( y = - \frac{7}{5} x - \frac{1}{5} \)
ধাপ ৬: সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:
এটা লিখতে চাই \( Ax + By + C = 0 \) রূপে। প্রথমে উভয় পক্ষকে ৫ দ্বারা গুণ করি:
\( 5y = -7x - 1 \)
অথবা:
\( 7x + 5y + 1 = 0 \)
উত্তর:
সুতরাং, লম্ব এবং (2, -3) বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখার সমীকরণ হল:
\( \boxed{7x + 5y + 1 = 0} \)