x²+2ax+y² = 0  বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শক  x অক্ষের উপর লম্ব ?

দেওয়া বক্ররেখা:

\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]

প্রথমে, বক্ররেখাটি সমাধান করে দেখি।

বক্ররেখাটি পুনঃলিখিত হয়:

\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]

এখানে, \( x^2 + 2ax \) কে সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[ x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2 \]

অতএব, সমীকরণটি লিখা যায়:

\[ (x + a)^2 - a^2 + y^2 = 0 \]

অথবা,

\[ (x + a)^2 + y^2 = a^2 \]

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র \((-a, 0)\) এবং রেডিয়াস \(a\)।

স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব হলে, স্পর্শক রেখার ঢাল শূন্য হতে হবে।

স্পর্শক রেখার সমীকরণ পেতে, প্???থমে বক্ররেখার ডেরিভেটিভ গণনা করি।

সমীকরণ:

\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]

দ্বিতীয় পার্শ্ব থেকে ডেরিভেটিভ নেওয়া হলে:

\[ 2x + 2a + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ 2x + 2a + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]

এখানে,

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x + a}{y} \]

চাই, যেখানে স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব।

চিহ্নিত করবো যেখানে স্পর্শক রেখার ঢাল \(\frac{dy}{dx}\) শূন্য।

অর্থাৎ,

\[ -\frac{x + a}{y} = \infty \]

যেহেতু, শুধুমাত্র তখনই ঢাল শূন্য হয় যখন, \(\frac{dy}{dx}\) অসীম বা অনির্দিষ্ট হয়, অর্থাৎ, যখন ডিনোমিনেটর \(y = 0\)।

সুতরাং, স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব হবে যেখানে \( y = 0 \)।

এখন, এই অবস্থায় সমীকরণে রাখি:

\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]

যেহেতু, \( y = 0 \), তাই:

\[ x^2 + 2ax = 0 \]

অথবা,

\[ x(x + 2a) = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ x = 0 \quad \text{অথবা} \quad x = -2a \]

সুতরাং, এই বিন্দুগুলি হল স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব হবে।

বিন্দুগুলি হল:

\[ (0, 0) \quad \text{এবং} \quad (-2a, 0) \]