x+y-2=0 রেখাটির–

1. সমান্তরাল রেখা, 2x+2y+3=0
2. মূলবিন্দু হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব √2 একক
3. উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রশ্নে দেওয়া রেখাটি হলো:

\( x + y - 2 = 0 \)

1. সমান্তরাল রেখা, \( 2x + 2y + 3 = 0 \)
2. মূলবিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক
3. উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

সমাধান:

1. সমান্তরাল রেখার পরীক্ষা

মূল রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণে প্রথমে দেখি:

\( x + y - 2 = 0 \)

রেখাটির সাধারণ রূপ: \( Ax + By + C = 0 \), যেখানে \( A=1, B=1, C=-2 \)

সমান্তরাল রেখার জন্য, সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে:

\( Ax + By + C' = 0 \), যেখানে \( C' \) আলাদা কিন্তু \( A, B \) একই থাকবেঃ

\( x + y + C' = 0 \)

দেওয়া রেখা: \( 2x + 2y + 3 = 0 \)

অর্থাৎ, \( A=2, B=2, C=3 \)

দেখা যাচ্ছে, মূল রেখার সমান্তরাল রেখা এর সমান \( A, B \) মানের নয় (মূল রেখার \( A=1, B=1 \)), তাই এই রেখাগুলি সমান্তরাল নয়।

অতএব, প্রথম যুক্তিটি সঠিক নয়।

2. মূলবিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব

ধরা যাক, মূলবিন্দুটি হলো \( (h,k) \)।

রেখার সম???করণ: \( x + y - 2 = 0 \)

দূরত্ব সূত্র অনুযায়ী:

\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

এখানে, \( a=1, b=1, c=-2 \)

অর্থাৎ:

\[ d = \frac{|h + k - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|h + k - 2|}{\sqrt{2}} \]

প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে, এই দূরত্ব = \(\sqrt{2}\) একক।

অতএব,

\[ \frac{|h + k - 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] => \(|h + k - 2| = 2\)

অর্থাৎ:

\(h + k - 2 = \pm 2\)

দুটি সমাধান:

• \(h + k - 2 = 2 \Rightarrow h + k = 4\)
• \(h + k - 2 = -2 \Rightarrow h + k = 0\)

অতএব, মূলবিন্দু কোথায় হতে পারে? এটি নির্দিষ্ট নয়, তবে দূরত্বের মান সঠিক।

সুতরাং, দ্বিতীয় যুক্তি সঠিক।

3. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

উদ্দীপকের রেখা \( x + y - 2 = 0 \) দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক।

প্রশ্নে স্পষ্ট উল্লেখ নেই, কিন্তু সাধারণতঃ অক্ষদ্বয় (অর্থাৎ, \( x \)-অক্ষ ও \( y \)-অক্ষ) দ্বারা এই রেখাটি উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়।

রেখাটির \( x \)-অক্ষ ও \( y \)-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি:

• অক্ষের সাথে ছেদ: \( y=0 \) হলে:

\( x + 0 - 2 = 0 \Rightarrow x=2 \)

• অক্ষের সাথে ছেদ: \( x=0 \) হলে:

\( 0 + y - 2=0 \Rightarrow y=2 \)

অতএব, রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে ছেদ করে বিন্দুসমূহ হলো \( (2, 0) \) ও \( (0, 2) \)

তাই, এই রেখা দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলো হলো:

• অক্ষদ্বয়ের বিন্দুসমূহ: \( (2, 0) \) ও \( (0, 2) \)
• তৃতীয় বিন্দু হলো মূল রেখার ছেদ বিন্দু যেখানে এটি অক্ষদ্বয়ের সাথে ছেদ করে।

তাই, এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:

ক্ষেত্রফল সূত্র:

অক্ষদ্বয়ের বিন্দুগুলোর জন্য, ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} |x_1 y_2 - y_1 x_2| \)

এখানে, \( (x_1, y_1) = (2,0) \), \( (x_2, y_2) = (0,2) \)

অতএব,

\( \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |(2)(2) - (0)(0)| = \frac{1}{2} |4 - 0| = 2 \)

এখানে লক্ষ্য করুন, ক্ষেত্রফল = 2 বর্গ একক, যা প্রশ্নে উল্লেখিত।

অতএব, তৃতীয় যুক্তিটি সঠিক।

সারসংক্ষেপ:

• প্রথম যুক্তিটি ভুল, কারণ রেখাগুলোর সমান্তরাল হওয়ার জন্য সমীকরণে A, B মান সমান হতে হবে, যা এখানে নয়।
• দ্বিতীয় যুক্তিটি সঠিক, কারণ মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক হতে পারে।
• তৃতীয় যুক্তিটি সঠিক, কারণ রেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে ছেদ করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক তৈরি করে।

উত্তর: ii ও iii

যদিও প্রশ্নে উত্তর হিসেবে উল্লেখ রয়েছে "i, ii & iii", তবে বিশ্লেষণে দেখা যায়, প্রথমটি ভুল। তবে, প্রশ্নের ভিত্তিতে সম্ভবতঃ প্রশ্নে ভুল রয়েছে বা অন্য কোন ব্যাখ্যা থাকতে পারে। কিন্তু তত্ত্বাবধানে, সঠিক উত্তর হলো:

ii ও iii