3x + √3y - 10 = 0 রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

প্রশ্ন: 3x + √3y - 10 = 0 রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

উত্তর: \(\frac{2\pi}{3}\)

সমাধান:

প্রথমে, রেখাটির সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:

3x + √3y - 10 = 0

এটি রেখার গুণাঙ্ক-প্রযুক্ত রূপে লেখলে:

y = mx + c

অতএব, y এর জন্য সমাধান করি:

√3y = -3x + 10

y = \frac{-3x + 10}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}}x + \frac{10}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}x + \frac{10}{\sqrt{3}}

অতএব, রেখার ঢাল (slope) হল:

m = -\sqrt{3}

রেখার ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণের জন্য, আমরা ঢালের মানে থেকে কোণের মান নির্ণয় করব। এটি জন্য, কোট্যানজেন্টের বিপরীত ব্যবহার করি।

কোণের মান \(\theta\) হল:

\theta = \arctan(m) = \arctan(-\sqrt{3})

আমরা জানি যে, \(\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\)

কিন্তু, যেহেতু আমরা ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ খুঁজছি, তাই কোণটি এই রকম যে, এটি ধনাত্মক দিকের উপর অবস্থান করে। এই জন্য, আমরা সাধারণত কোণের মান পজিটিভ করে নিই বা 180° বা \(\pi\) যোগ করি।

তাই, ধনাত্মক দিকের জন্য, কোণের মান হবে:

\theta = \pi - \left| -\frac{\pi}{3} \right| = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

অতএব, রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\boxed{\frac{2\pi}{3}}\) কোণ উৎপন্ন করে।