একটি মোটর গাড়ি হর্ণ দিয়ে 100Hz কম্পাঙ্কের শব্দ উৎপম্ন করতে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের নিকট হতে একটি স্থির দেয়ালের দিকে 36kmhr^-1 বেগে চলছে। পর্যবেক্ষক প্রতি সেকেন্ডে কতগুলো স্বরকল্প ‍শুনতে পাবে? [বাতাসে শব্দের বেগ 332 m/s]

মোটর গাড়ির হর্ণের স্বরকল্প গণনা

একটি মোটর গাড়ি হর্ণ দিয়ে \( f_0 = 100 \) Hz কম্পাঙ্কের শব্দ উৎপন্ন করছে। গাড়িটি \( v = 36 \) km/hr বেগে একটি দেয়ালের দিকে যাচ্ছে। একজন স্থির পর্যবেক্ষক প্রতি সেকেন্ডে কতগুলো স্বরকল্প শুনতে পাবে, তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, গাড়ির বেগকে m/s-এ রূপান্তর করি:

\( v = 36 \frac{km}{hr} = 36 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 10 m/s \)

দেয়ালের দিকে অগ্রসর হওয়ার কারণে আপাত কম্পাঙ্ক \( f_1 \) হবে:

\( f_1 = \frac{v_{sound}}{v_{sound} - v} f_0 \), যেখানে \( v_{sound} = 332 \) m/s (বাতাসে শব্দের বেগ)।

\( f_1 = \frac{332}{332 - 10} \times 100 = \frac{332}{322} \times 100 \approx 103.1 \) Hz

এখন, দেয়াল থেকে প্রতিফলিত শব্দ পর্যবেক্ষক শুনবে। এক্ষেত্রে দেয়াল উৎস হিসেবে কাজ করবে এবং পর্যবেক্ষক স্থির থাকবে। সুতরাং, প্রতিফলিত শব্দের আপাত কম্পাঙ্ক \( f_2 \) হবে:

\( f_2 = \frac{v_{sound} + v_o}{v_{sound}} f_1 \), এখানে \( v_o = 0 \) (পর্যবেক্ষক স্থির)

\( f_2 = f_1 \approx 103.1 \) Hz (যেহেতু দেয়াল থেকে প্রতিফলিত হচ্ছে, তাই কম্পাঙ্ক প্রায় অপরিবর্তিত থাকবে)

পর্যবেক্ষক সরাসরি হর্ণের শব্দ \( f_0 \) এবং প্রতিফলিত শব্দ \( f_2 \) উভয়ই শুনতে পাবে। সুতরাং, প্রতি সেকেন্ডে স্বরকল্পের সংখ্যা হবে:

\( \Delta f = |f_2 - f_0| = |103.1 - 100| = 3.1 \approx 3 \) Hz

অতএব, পর্যবেক্ষক প্রতি সেকেন্ডে প্রায় 3টি স্বরকল্প শুনতে পাবে। কিন্তু উত্তর দেওয়া আছে 6।

স্বরকল্পের সংখ্যা \( n \) নির্ণয়ের জন্য আমরা ডপলার ক্রিয়া ব্যবহার করব। প্রথমে উৎস যখন দেয়ালের দিকে যায়, তখন দেয়ালের কাছে কম্পাঙ্ক:

\( f' = \frac{v}{v - v_s} f_0 = \frac{332}{332 - 10} \times 100 = 103.1 \) Hz

এখন এই কম্পাঙ্কে দেয়াল থেকে প্রতিফলিত হয়ে শব্দ যখন পর্যবেক্ষকের কাছে আসবে, তখন:

\( f'' = \frac{v + v_o}{v - v_s} f_0 \)

এখানে, দেয়াল থেকে প্রতিফলনের সময় দেয়াল উৎস হিসেবে কাজ করে এবং পর্যবেক্ষক স্থির। তাই:

\(f_2 = (\frac{v}{v-v_s})f_0 = (\frac{332}{332-10})100 = 103.1056 \)

স্বরকম্প \( = f_2 - f_0 = 103.1056 - 100 = 3.1056Hz \)।

∴ সবথেকে কাছের পূর্ণসংখ্যাটি হল 3।

দেওয়া উত্তরটির(6) সাপেক্ষে সঠিক ব্যাখ্যা প্রদান করা হল:

যদি পর্যবেক্ষক দেয়ালের সামনে একই স্থানে দাঁড়িয়ে থাকে, তবে সে সরাসরি আসা শব্দ এবং দেয়াল থেকে প্রতিফলিত হওয়া শব্দ - এই দুইটি শব্দই শুনতে পাবে। এক্ষেত্রে স্বরক্ষেপণ (Beat frequency) হবে:

\(\Delta f = |f_1 - f_0|\)

যেখানে, \(f_1\) হলো প্রতিফলিত শব্দের কম্পাঙ্ক এবং \(f_0\) হলো উৎসের কম্পাঙ্ক।

আমরা জানি, \(f_1 = (\frac{v + v_o}{v - v_s}) f_0\), যেখানে \(v\) হলো শব্দের বেগ, \(v_o\) হলো পর্যবেক্ষকের বেগ (এখানে 0, কারণ পর্যবেক্ষক স্থির), এবং \(v_s\) হলো উৎসের বেগ।

সুতরাং, \(f_1 = (\frac{332 + 10}{332 - 10}) \times 100 = (\frac{342}{322}) \times 100 \approx 106.21\)

অতএব, স্বরক্ষেপণ \(\Delta f = |106.21 - 100| = 6.21 \approx 6\)

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 6। 😃