y=ax(1-x)

মূলবিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের ঢাল কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \( y = a x (1 - x) \) এর মূলবিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল কত?

ধাপ ১: মূলবিন্দু নির্ণয়

মূলবিন্দু হল যেখানে \(\frac{dy}{dx} = 0\)।

প্রথমে, \( y = a x (1 - x) \) কে বিকৃত করি:

\[ y = a x - a x^2 \]

ধাপ ২: ডেরিভেটিভ নির্ণয়

\(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করি:

\[ \frac{dy}{dx} = a - 2a x \]

ধাপ ৩: মূলবিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্য করা

\[ a - 2a x = 0 \] \[ a (1 - 2 x) = 0 \] যেহেতু \(a \neq 0\), তাই: \[ 1 - 2 x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \]

ধাপ ৪: মূলবিন্দুতে y এর মান নির্ণয়

\[ y = a \times \frac{1}{2} \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) = a \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{a}{4} \]

ধাপ ৫: স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়

\[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\frac{1}{2}} = a - 2a \times \frac{1}{2} = a - a = 0 \] অর্থাৎ, মূলবিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল 0। তবে, প্রশ্নে জিজ্ঞেস করা হয়েছে "মূলবিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল কত?"। এখানে মূলবিন্দুতে ডেরিভেটিভ \(0\)। উপরন্তু, যেহেতু মূলবিন্দুতে ডেরিভেটিভ \(0\), তবে যদি প্রশ্নের অর্থ হয়, বক্ররেখাটির ঢাল অর্থাৎ, মূলবিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, তখন সেটি \(0\)। অতএব, উত্তর: \[ \boxed{"a"} \] এখানে, মূলবিন্দুতে ঢাল \(0\) হলেও, যদি প্রশ্নের অর্থ হয়, মূলবিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল বা স্পর্শকের ঢাল, সেটি হলো \(\boxed{a}\)।