1.5km প্রস্তত নদীতে স্রোত 5km/h. একজন সাতারু কত ডিগ্রী কোণে 6km/h বেগে সাতার কাটলে নুন্যতম সময়ে নদী পার দিতে পারবে?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

একজন সাতারু ৬ km/h বেগে নদীতে সাতার কাটছে এবং নদীর স্রোত ৫ km/h। নদীর প্রস্থ ১.৫ km। তাকে সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হতে হলে কত ডিগ্রী কোণে সে সাতার কাটবে তা নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান:

ধরা যাক, সাতারুর মোট বেগ \(v_s = 6\, \text{km/h}\)। নদীর স্রোতের গতি \(v_r = 5\, \text{km/h}\)। নদীর প্রস্থ \(d = 1.5\, \text{km}\)।

সাতারুর সাতার কাটার কোণ \(\theta\) (নদীর ধারে থেকে)।

প্রথমে:

• নদীর স্রোতের বিপরীতে সাতারু তার অভিমুখ নির্বাচন করবে।
• সাতারুর আসল গতি \(\vec{v_s}\) এর x-উপাদান নদীর স্রোতের বিপরীতে যাবে, এবং y-উপাদান নদীর উপরে বা নিচে যাবে, যাতে নদীর প্রস্থ পার হয়।

সমীকরণ:

নদীর স্রোতের জন্য, সাতারুর মোট গতি \(\vec{v_{total}}\) হবে:

\[ \vec{v_{total}} = \vec{v_s} + \vec{v_r} \] অর্থাৎ, \[ v_{total_x} = v_s \cos \theta + v_r \] \[ v_{total_y} = v_s \sin \theta \] নদীর প্রস্থ পার করতে হলে, y-উপাদান দিয়ে নদীর প্রস্থের দূরত্ব পার করতে হবে: \[ \text{সময় } t = \frac{d}{v_{total_y}} = \frac{1.5}{v_s \sin \theta} \] এবং, নদীর স্রোতকে উপেক্ষা করে, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে, সাবধানে হিসাব করতে হবে যে, সাতারুর গতি নদীর অক্ষের সাথে কেমন কোণে থাকবে যাতে সে সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হয়। সুতরাং, \(\theta\)-এর জন্য, তার গতি: \[ v_s \sin \theta \] এবং নদীর স্রোতের জন্য, তার গতি: \[ v_r = 5\, \text{km/h} \] সাতারুর প্রকৃত গতি নদীর ধারে অতিক্রম করতে হলে, তার উপরের গতি \(\vec{v_s}\) এর এক্স-উপাদান নদীর স্রোতের বিপরীতে থাকবে এবং তার ইয়-উপাদান নদীর প্রস্থ পার করতে হবে। সর্বনিম্ন সময়ের জন্য, তিনি নদীর স্রোতকে অতিক্রম করার জন্য তার গতি এমনভাবে নির্বাচন করবেন যাতে তিনি নদী অতিক্রম করেন। আসুন, সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হওয়ার জন্য, \(\theta\) এমনভাবে নির্বাচন করব যাতে তার গতি নদীর উপরে বা নিচে সরাসরি ধাক্কা দেয় না, অর্থাৎ, তিনি নদীর ধারে থেকে সরাসরি পার হবেন। অর্থাৎ, যতটা সম্ভব \(\theta\) এর মান যতোটুকু কম হবে, ততোটুকু দ্রুত নদী পার হওয়া সম্ভব। কিন্তু, যেহেতু গতি ৬ km/h, \(\sin \theta\) যত কম হবে, তত বেশি সময় লাগবে। তাই, তিনি যদি \(\theta = 90^\circ\) কোণে সাতার কাটেন, তাহলে তিনি নদীর উপরে বা নিচে সরাসরি (vertical) গমন করবেন, অর্থাৎ, \(\sin 90^\circ=1\)। এতে, সময় সর্বনিম্ন হবে। অতএব, \(\theta = 90^\circ\) হলে, তিনি সরাসরি নদীর প্রস্থ পার করবেন।

উত্তর:

সুতরাং, সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হতে তিনি 90 ডিগ্রী কোণে সাতার কাটবেন।

উত্তর: 90°