একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর রাশির মান সমান হলে এদের লব্ধি ভেক্টর রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে -

প্রশ্নে বলা হয়েছে, দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত এবং তাদের রাশির মান সমান। অর্থাৎ,

\[ |\vec{A}| = |\vec{B}| \]

এবং তাদের লব্ধি ভেক্টর \(\vec{A} + \vec{B}\) ও \(\vec{A} - \vec{B}\) এর মধ্যে সম্পর্ক দেখা হচ্ছে।

আসুন, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মান বিশ্লেষণ করি:

সাধারণত, দুই ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যে কোণ \(\theta\) থাকলে,

\[ |\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2 |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \]

এবং,

\[ |\vec{A} - \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2 |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \]

যেহেতু, \(|\vec{A}| = |\vec{B}| = R\), তাহলে উপরের সমীকরণগুলি হয়:

\[ |\vec{A} + \vec{B}|^2 = R^2 + R^2 + 2 R^2 \cos \theta = 2 R^2 (1 + \cos \theta) \]

\[ |\vec{A} - \vec{B}|^2 = R^2 + R^2 - 2 R^2 \cos \theta = 2 R^2 (1 - \cos \theta) \]

এখন, এই দুটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\phi\) হলো, যেটি \(\vec{A} + \vec{B}\) ও \(\vec{A} - \vec{B}\) এর লব্ধি ভেক্টরগুলোর মধ্যবর্তী কোণ।

লব্ধি ভেক্টর \(\vec{A} + \vec{B}\) ও \(\vec{A} - \vec{B}\) এর মান:

\[ |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{2 R^2 (1 + \cos \theta)} = R \sqrt{2 (1 + \cos \theta)} \]

\[ |\vec{A} - \vec{B}| = R \sqrt{2 (1 - \cos \theta)} \]

এবং, এই দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(\phi\) এর জন্য:

\[ \cos \phi = \frac{(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})}{|\vec{A} + \vec{B}| |\vec{A} - \vec{B}|} \]

অতএব, ডট প্রোডাক্ট গণনা করি:

\[ (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} \]

যেহেতু, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = R^2 \cos \theta\), তাই:

\[ (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = R^2 - R^2 \cos \theta + R^2 \cos \theta - R^2 = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ \cos \phi = 0 \]

এবং, এর মানে হলো:

\[ \phi = 90^\circ \]

অর্থাৎ, লব্ধি ভেক্টর \(\vec{A} + \vec{B}\) ও \(\vec{A} - \vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ ৯০ ডিগ্রি বা \(\boxed{\text{"সমানভাবে দ্বিখন্ডিত করে"}}\)।