\( 2\hat{i} \) এবং \( 3\hat{j} \) ভেক্টর দুটি মধ্যবর্তী কোণ কত?

প্রথমে, আমাদের দুইটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে:

• \( \vec{A} = 2\hat{i} \)
• \( \vec{B} = 3\hat{j} \)

এখন, এই দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে তাদের ডট প্রোডাক্ট (dot product) হিসাব করি।

ডট প্রোডাক্টের সূত্র:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \)

এবং, যেখানে \( \theta \) হচ্ছে দুই ভেক্টরের মধ্যে কোণ।

প্রথমে, ভেক্টরগুলোর মান নির্ণয় করি:

• \( |\vec{A}| = 2 \)
• \( |\vec{B}| = 3 \)

ডট প্রোডাক্ট হিসাব করি:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (2\hat{i}) \cdot (3\hat{j}) = 2 \times 3 \times (\hat{i} \cdot \hat{j}) \)

এবং, যেহেতু \(\hat{i}\) এবং \(\hat{j}\) অ-সমান্তরাল ইউনিট ভেক্টর, তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য:

\( \hat{i} \cdot \hat{j} = 0 \)

অতএব,

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)

এখন, কোণ \( \theta \) নির্ণয় করি:

\( \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{0}{2 \times 3} = 0 \)

অতএব,

\( \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \)

সুতরাং, দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \( \boxed{90^\circ} \)।