\( \vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \) & \( \vec{B} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k} \) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) নির্ণয় করার জন্য, আমরা ডট প্রোডাক্টের সূত্র ব্যবহার করব: \[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \] প্রথমে, ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর ডট প্রোডাক্ট হিসাব করি: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(4) + (-1)(-2) + (3)(6) = 8 + 2 + 18 = 28 \] এরপর, ভেক্টরদ্বয়ের মান (ম্যাগ্নিটিউড): \[ |\vec{A}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\vec{B}| = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} \] এখন, কোণের কসম মান নির্ণয় করি: \[ \cos \theta = \frac{28}{\sqrt{14} \times \sqrt{56}} \] \(\sqrt{14} \times \sqrt{56} = \sqrt{14 \times 56} = \sqrt{14 \times 56}\) \[ 14 \times 56 = 14 \times (8 \times 7) = 14 \times 8 \times 7 = (14 \times 8) \times 7 = 112 \times 7 = 784 \] অতএব, \[ \cos \theta = \frac{28}{\sqrt{784}} = \frac{28}{28} = 1 \] যেহেতু \(\cos \theta = 1\), তাই, \[ \theta = \cos^{-1} 1 = 0^\circ \] অর্থাৎ, ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) একে অপরের সাথে একই দিকের, এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(0^\circ\)। **উত্তর:** \[ \boxed{ \text{মধ্যবর্তী কোণ } = 0^\circ } \]