যদি \( \vec{A} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} \) শূন্য ভেক্টর না হয় এবং \( \vec{B} = \frac{\vec{A}}{|| \vec{A} ||} \) হয় তবে \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যবর্তী কোণের মান কত?

Explanation: Hints: কোনো ভেক্টর ও তার একক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(0^\circ\)। Solve: কোনো ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে সেই ভেক্টরের দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। \(\mathbf{B} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|}, \) যা হচ্ছে \(\mathbf{A}\) ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর। যেহেতু \(\mathbf{B}\) ভেক্টরের দিক \(\mathbf{A}\) ভেক্টরের দিকেই, সেহেতু \(\mathbf{A}\) ও \(\mathbf{B}\) ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(0^\circ\) Ans. (A)

Another Explanation (5): ```html

🤔প্রশ্নানুসারে, \( \vec{A} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} \) একটি অশূন্য ভেক্টর এবং \( \vec{B} = \frac{\vec{A}}{||\vec{A}||} \)।

এখানে, \( \vec{B} \) হলো \( \vec{A} \) এর দিকে একটি একক ভেক্টর। একক ভেক্টর মানে হলো এর মান 1।

🤔এখন, দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের জন্য আমরা ডট গুণনের সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = ||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}|| \cdot \cos{\theta} \)

যেখানে \( \theta \) হলো \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যবর্তী কোণ।

যেহেতু \( \vec{B} = \frac{\vec{A}}{||\vec{A}||} \), তাই আমরা লিখতে পারি:

\( \vec{A} \cdot \frac{\vec{A}}{||\vec{A}||} = ||\vec{A}|| \cdot ||\frac{\vec{A}}{||\vec{A}||} || \cdot \cos{\theta} \)

🤓আমরা জানি, \( \vec{A} \cdot \vec{A} = ||\vec{A}||^2 \) এবং \( ||\frac{\vec{A}}{||\vec{A}||} || = 1 \) (যেহেতু এটা একক ভেক্টর)।

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\( \frac{||\vec{A}||^2}{||\vec{A}||} = ||\vec{A}|| \cdot 1 \cdot \cos{\theta} \)

\( ||\vec{A}|| = ||\vec{A}|| \cdot \cos{\theta} \)

যেহেতু \( \vec{A} \) একটি অশূন্য ভেক্টর, তাই \( ||\vec{A}|| \neq 0 \)। সুতরাং আমরা উভয় পক্ষকে \( ||\vec{A}|| \) দিয়ে ভাগ করতে পারি:

\( 1 = \cos{\theta} \)

🤔আমরা জানি, \( \cos{0^\circ} = 1 \)।

অতএব, \( \theta = 0^\circ \)।

সুতরাং, \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( 0^\circ \)। 🎉

```