Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রথমে, অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণগুলি দেওয়া হয়েছে:
\[
\theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right), \quad
\theta_2 = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right), \quad
\theta_3 = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\]
অর্থাৎ, ভেক্টরটির ডট প্রোডাক্ট অক্ষত্রের সাথে সমান:
\[
\vec{A} \cdot \hat{i} = |\vec{A}| \cos \theta_1 = |\vec{A}| \times \frac{2}{\sqrt{6}}
\]
\[
\vec{A} \cdot \hat{j} = |\vec{A}| \cos \theta_2 = |\vec{A}| \times \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\]
\[
\vec{A} \cdot \hat{k} = |\vec{A}| \cos \theta_3 = |\vec{A}| \times \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\]
ধরা যাক, ভেক্টর \(\vec{A} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\), যেখানে \(|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)। তবে, ভেক্টরটির জন্য আমাদের সরাসরি \(x, y, z\)-এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি যে, \(\cos \theta\) দিয়ে ভেক্টরটির দিক নির্ণয় করা যায়। অতএব,
\[
\frac{x}{|\vec{A}|} = \frac{2}{\sqrt{6}} \quad \Rightarrow \quad x = |\vec{A}| \times \frac{2}{\sqrt{6}}
\]
\[
\frac{y}{|\vec{A}|} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \quad \Rightarrow \quad y = |\vec{A}| \times \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\]
\[
\frac{z}{|\vec{A}|} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \quad \Rightarrow \quad z = |\vec{A}| \times \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\]
আমরা চাই এমন একটি ভেক্টর, যেখানে এই অনুপাত সত্য হয়।
অতএব, \(x : y : z = 2 : -1 : -1\)
এখন, \( |\vec{A}| \) নির্ণয় করি:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
x = 2k, \quad y = -k, \quad z = -k
\]
যেখানে \(k\) একটি ধনাত্মক স্কেলার।
তাহলে,
\[
|\vec{A}| = \sqrt{(2k)^2 + (-k)^2 + (-k)^2} = \sqrt{4k^2 + k^2 + k^2} = \sqrt{6k^2} = \sqrt{6} \times |k|
\]
অতএব,
\[
x = 2k, \quad y = -k, \quad z = -k
\]
প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী, \(\vec{P} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}\), যেখানে \(k=2\):
\[
x = 2 \times 2 = 4, \quad y = -2, \quad z = -2
\]
এখানে, \(\vec{P} = (4, -2, -2)\)
সুতরাং, ভেক্টর \(\vec{P} = (4i - 2j - 2k)\) এই পরিস্থিতির জন্য সঠিক।
উপসংহার:
\[
\boxed{
\vec{P} = (4i - 2j - 2k)
}
\]
