যদি vecA=hati+2hatj-3hatk  এবং  B=3hati-hatj+2hatk হয়, তবে  (vecA+vecB) এবং (vecA−vecB) এর মধ্যকার কোণ কত?

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়

প্রদত্ত ভেক্টরসমূহ:

\( \vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \)
\( \vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)

\( \vec{A} + \vec{B} \) নির্ণয়:

\( \vec{A} + \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( = (1+3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (-3+2)\hat{k} \)
\( = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)

\( \vec{A} - \vec{B} \) নির্ণয়:

\( \vec{A} - \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( = (1-3)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} \)
\( = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \)

মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) নির্ণয়:

আমরা জানি, \( \vec{P} \cdot \vec{Q} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos{\theta} \)
সুতরাং, \( \cos{\theta} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}| |\vec{Q}|} \) এখানে, \( \vec{P} = \vec{A} + \vec{B} = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \vec{Q} = \vec{A} - \vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \) \( \vec{P} \cdot \vec{Q} = (4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( = (4 \times -2) + (1 \times 3) + (-1 \times -5) \)
\( = -8 + 3 + 5 = 0 \)

যেহেতু \( \vec{P} \cdot \vec{Q} = 0 \), তাই \( \cos{\theta} = 0 \)
সুতরাং, \( \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \) 🥳

অতএব, \( (\vec{A} + \vec{B}) \) এবং \( (\vec{A} - \vec{B}) \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \)।