যদি ভেক্টরদ্বয় vecA= hati+2 hatj-3 hatk এবং vecB= 3hati-hatj+2 hatk হয় তবে (vecA + vecB) এবং (vecA – vecB) এর মধ্যকার কোণ কত?
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়
দেওয়া আছে, ভেক্টর \( \vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)।
আমাদের \( (\vec{A} + \vec{B}) \) এবং \( (\vec{A} - \vec{B}) \) এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, \( (\vec{A} + \vec{B}) \) নির্ণয় করি:
\( \vec{A} + \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( \vec{A} + \vec{B} = (1+3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (-3+2)\hat{k} \)
\( \vec{A} + \vec{B} = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)
এখন, \( (\vec{A} - \vec{B}) \) নির্ণয় করি:
\( \vec{A} - \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( \vec{A} - \vec{B} = (1-3)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} \)
\( \vec{A} - \vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \)
ধরি, \( (\vec{A} + \vec{B}) \) এবং \( (\vec{A} - \vec{B}) \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \)। তাহলে,
\( \cos{\theta} = \frac{(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})}{|\vec{A} + \vec{B}| |\vec{A} - \vec{B}|} \)
\( (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = (4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( = (4 \times -2) + (1 \times 3) + (-1 \times -5) \)
\( = -8 + 3 + 5 = 0 \)
সুতরাং, \( \cos{\theta} = \frac{0}{|\vec{A} + \vec{B}| |\vec{A} - \vec{B}|} = 0 \)
\( \theta = \cos^{-1}(0) \)
\( \theta = 90^\circ \) 🥳
অতএব, \( (\vec{A} + \vec{B}) \) এবং \( (\vec{A} - \vec{B}) \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \)। 🎉
```