সমমানের দুটি ভেক্টর vecA ওvecB  ,O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধিvecR এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান। vecA ওvec B এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: সমমানের দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\), O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি \(\vec{R}\) এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান। \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ কত? সমাধান: ধরা যাক, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের ভেক্টর। অর্থাৎ, \(\vec{A} = k \vec{B}\) বা \(\vec{B} = m \vec{A}\), যেখানে \(k, m\) ধনাত্মক রাশি। এছাড়া, \(\vec{R}\) এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের সমান। অর্থাৎ, \(\vec{R} = \vec{A}\) বা \(\vec{R} = \vec{B}\) এখন, \(\vec{R}\) এর মান \(\vec{A}\) বা \(\vec{B}\) হলে, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যে কোসাইন সূত্র ব্যবহার করি: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \] তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের, অর্থাৎ, \(\vec{A} = \lambda \vec{B}\) বা \(\vec{B} = \mu \vec{A}\), এবং \(\vec{R}\) এর মান \(\vec{A}\) বা \(\vec{B}\) হলে, তাদের মধ্যে কোণটি নির্ণয় করতে হবে। ধরা যাক, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের ভেক্টর। তাহলে, \(\vec{A} = \lambda \vec{B}\), এবং \(|\vec{A}| = |\lambda| |\vec{B}|\) তাহলে, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য: \[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \] এবং, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\) যেহেতু \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের, তখন তাদের মধ্যে কোণ \(\theta\) এমন হবে যে, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\) এছাড়া, \(\vec{R}\) এর মান \(\vec{A}\) বা \(\vec{B}\) হলে, এর মানে হলো তারা সমমানের বা অর্ধেক কোণযুক্ত। উপরিউক্ত তথ্য থেকে, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর মান হবে \(120^\circ\)। **উত্তর: 120°** **HTML with LaTeX:** ```html

সমাধান:

ধরা যাক, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের ভেক্টর। অর্থাৎ, \(\vec{A} = k \vec{B}\) বা \(\vec{B} = m \vec{A}\), যেখানে \(k, m\) ধনাত্মক রাশি।

এছাড়া, \(\vec{R}\) এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের সমান। অর্থাৎ, \(\vec{R} = \vec{A}\) বা \(\vec{R} = \vec{B}\)

এখন, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য, কোসাইন সূত্র ব্যবহার করি:

\(\)
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta
\(\)

এবং, যেহেতু \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের, তখন তাদের মধ্যে কোণ \(\theta\) এমন হবে যে, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\)

অতএব, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হবে 120°।

```