এক বিন্দুতে P=2hati-2hatj+hatk ও Q=sqrt3hati+sqrt3hatj+sqrt3hatk বলের লব্ধি P বলের সাথে কত কোণ করে? 

বলের লব্ধি নির্ণয় ও কোণ হিসাব

ধরি, \( \vec{R} \) হলো \( \vec{P} \) ও \( \vec{Q} \) বলের লব্ধি। তাহলে,

\( \vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} \)

এখানে,

\( \vec{P} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)

\( \vec{Q} = \sqrt{3}\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k} \)

সুতরাং,

\( \vec{R} = (2 + \sqrt{3})\hat{i} + (\sqrt{3} - 2)\hat{j} + (1 + \sqrt{3})\hat{k} \)

\( \vec{R} \) এবং \( \vec{P} \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) হলে,

\( \cos{\theta} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{R}}{|\vec{P}| |\vec{R}|} \)

\( \vec{P} \cdot \vec{R} = (2)(2 + \sqrt{3}) + (-2)(\sqrt{3} - 2) + (1)(1 + \sqrt{3}) \)

\( = 4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4 + 1 + \sqrt{3} \)

\( = 9 + \sqrt{3} \)

\( |\vec{P}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{R}| = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} - 2)^2 + (1 + \sqrt{3})^2} \)

\( = \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3 + 3 - 4\sqrt{3} + 4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3} \)

\( = \sqrt{18 + 2\sqrt{3}} \)

অতএব,

\( \cos{\theta} = \frac{9 + \sqrt{3}}{3\sqrt{18 + 2\sqrt{3}}} \)

\( \cos{\theta} = \frac{9 + \sqrt{3}}{3\sqrt{18 + 2\sqrt{3}}} \approx 0.707 \)

\( \theta = \cos^{-1}(0.707) \approx 45^{\circ} \)

সুতরাং, লব্ধি \( \vec{R} \), \( \vec{P} \) বলের সাথে \( 45^{\circ} \) কোণ উৎপন্ন করে।🎉